Hola
Podrían ayudarme con lo siguiente por favor:
\( \textrm{Dado } \textbf{(a,b,c)[a,b,c]=abc}\textrm{ , probar que } \textbf{(a,b)=(b,c)=(a,c)=1} \).
Por ejemplo. Si consideras la descomposición en factores primos de cada número:
\( a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_n^{a_n} \)
\( b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}\ldots p_n^{b_n} \)
\( c=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\ldots p_n^{c_n} \)
(suponemos los mismos primos para todos permitiendo exponentes cero).
Entonces:
\( [a,b,c]=\displaystyle\prod_{i=1}^np_i^{max(a_i,b_i,c_i)} \)
\( (a,b,c)=\displaystyle\prod_{i=1}^np_i^{min(a_i,b_i,c_i)} \)
Por tanto la hipótesis \( [a,b,c](a,b,c)=abc \) equivale a:
\( max(a_i,b_i,c_i)+min(a_i,b_i,c_i)=a_i+b_i+c_i \) para \( i=1,2,\ldots,n \)
Pero si dos de los términos de \( a_i,b_i,c_i \) suman igual que los tres necesariamente uno de ellos es cero. Pero si uno de ellos es cero, \( min(a_i,b_i,c_i)=0 \). Pero ahora si \( max(a_i,b_i,c_i)=a_i+b_i+c_i \) dos de esos tres términos son cero. Y por tanto cada factor primo \( p_i \) sólo aparece en uno de los tres números y éstos son coprimos.
Saludos.
