Hola, vmanalb.
Imagino que lo dices te interesa para pares grandes, puesto que la conjetura se cumple para billones de números pares consecutivos.
Si fuera así, entonces se puede decir lo que sigue:
Dado un par \( 2\cdot n \) muy grande, en el intervalo \( (0,n) \) existe una cantidad de primos que es, con bastante aproximación, el triple de la que hay en el intervalo \( ({\color{green}n},2n){\color{green}} \); (yo no me acuerdo de la demostración ahora, pero es sencilla y, un día que pregunté sobre esto, me lo demostró Luis; si te interesa ver cómo es se lo dices).
Dado que todos los números del intervalo que suman 2n, primos o no, tienen que ser simétricos, uno de ellos pertenecerá a \( (0,n) \) y otro a \( (n,2n) \) o bien será el propio n sumado con él mismo. Por tanto, como la cantidad de primos está desequilibrada (siendo 1/3 en el segundo intervalo) si pensamos solamente en parejas primo-primo quedarán primos “viudos” (primos que sumarán 2n con no primos). En cambio, si consideramos parejas exclusivamente del tipo primo-no primo, no se puede asegurar (hasta que se demuestre) que queden primos “viudos”; si queda alguno, entonces existe al menos una pareja primo-primo. Esto es debido a que la cantidad de no primos es mucho mayor que la de primos y, por consiguiente, no es impedimento para que los primos “casen” todos con no primos.
De hecho, si esta conjetura fuera gobernada por el puro azar, no se cumpliría seguro (creo que con probabilidad 1 de no cumplirse, aunque a lo mejor meto la pata al considerarlo).
El teorema de los números primos nos hace ver que la densidad de los primos va dececiendo de cero a 2n según tomamos pares más grandes (no de forma monótona, pero a tramos va descendiendo). Para números muy grandes la cantidad de primos es muy pequeña respecto de los no primos. Es como tener dos tarros con muchas judías y unos poquitos garbanzos en cada bote mezclados con las judías. Si extraemos al azar una legumbre de cada bote, lo más normal será sacar judía-judía ó judía-garbazo... y más raramente garbanzo-garbanzo. Bien, podemos sacar garbanzo-garbanzo para un par grande, puede pasar; pero es que la conjetura ésta supone hacer el experimento aleatorio con infinitos pares de botes cada vez más grandes, con una densidad de garbanzos cada vez más baja. Así, por probabilidad, en algún momento no sacaremos ninguna pareja de garbanzos; y basta con que falle una pareja de botes para que falle la conjetura.
Sorprendentemente, contra pronóstico, a medida que los pares son más grandes, existen más coincidencias primo-primo; no crecen de forma monótona las parejas, pero van creciendo a tramos. Es decir, llega un momento que la cantidad de parejas siempre está por encima de un número de dos cifras, después por encima de uno de tres; siempre hasta donde se observa... No se sabe si puede descender bruscamente o no, hasta donde se mira no lo parece; ésa es la cuestión (todo esto que digo, lo digo porque lo he comprobado hasta cierto número de pares haciendo programillas en Python, no me lo invento).
Con eso te quiero decir que si estás pensando en una cuestión azarosa relacionada con cantidades de primos para que se cumpla, abandona la idea, que no funciona, esta conjetura no se cumple por suerte (lo que no asegura al 100% que no pueda dejar de cumplirse, por muy raro que se vea el que pueda pasar eso).
Saludos.
