[robinlambada]

En una isla del Pacífico se observa que nada más que sobreviven unos camaleones que pueden cambiar de color. En total había 20 verdes, 19 grises y 18 marrones.
Se observó que cuando se encuentran dos camaleones de colores distintos, los dos cambian
automáticamente al tercer color y que no cambian de color en ningún otro caso. ¿ Es posible
que todos los camaleones se vuelvan del mismo color?

[Luis Fuentes]

Hola

 Una forma:

Spoiler

En cada cambio hay dos colores que disminuyen en una unidad y el otro aumenta en dos. Pero si trabajamos módulo \( 3 \) todos disminuyen una unidad.

 Para que sólo quedasen de un color, dos de ellos deberían de resultar cero  en el proceso.

 Pero módulo tres hay 2 verdes, 1 gris y 0 marrones; dado que en cada paso todos disminuyen una unidad, siempre entres los tres colores habrá uno con 2, otro 1 y otro 0 unidades. Por tanto es imposible que dos resulten cero.

 Si uno quiere evitar la aritmética modular se puede razonar igual en términos de divisibilidad por tres, teniendo en cuenta los restos.

[cerrar]

Saludos.

[ingmarov]

Hola

¿Se vale si mato uno de ellos o lo mando al polo sur?   

O espero a que la población total sea un número par.

Sigo pensando.

[robinlambada]

Bueno, tomándome en serio la propuesta de Ingmarov. Te dejaría que mandaras al polo sur el mismo número de camaleones de cada color, o que añadieras el mismo número de camaleones de cada color, ó por ultimo que añadieras o quitaras múltiplos de tres individuos a cualquier tipo o tipos de camaleones atendiendo a su color.
¿Ahora es más fácil ó más difícil?

[ingmarov]

Bueno, a quienes lo quieran intentar sin escribir, pueden visitar este sitio:

http://juegosdelogica.net/juegosdeestrategia/camaleones_2.php

He resuelto algunos casos pero aún no encuentro la clave del asunto.

Editado

Bueno dejé de intentar resolver esto desde que abdulai publicó su respuesta.

Pero, cuando el_manco publicó esto.

Hola

Una forma:

Me hizo pensar que se podía resolver.       . Nunca vi el spoiler hasta hoy. 
Bueno solo invertía una hora y media intentándolo y unos cuantos pelos de mi cabello. 

[Abdulai]

Bueno, a quienes lo quieran intentar sin escribir, pueden visitar este sitio:

http://juegosdelogica.net/juegosdeestrategia/camaleones_2.php

He resuelto algunos casos pero aún no encuentro la clave del asunto.

Vas seleccionando parejas entre los dos colores que mas tienen hasta que el tercer color iguala a uno de estos dos. A partir de ahí vas seleccionando solo de esos.

Por ejemplo, si fuera: [R,A,V]=[18,14,5]

Hacés tres selecciones R-A y después 11 A-V

Pero cuando se dan casos tipo [20,19,18], tal como explicó el_manco, no tienen solución.

[robinlambada]

Por si alguien no entendio del todo a el_manco, lo explicaré más detallado y menos tecnicamente.

Spoiler

La clave aqui como muy bien ha dicho el_manco, no es el número de cada camaleón del mismo color, sino sus restos al dividirlos entre 3, o si sus diferencias son múltiplos de 3.

Es claro que si dos colores (con colores me referire a camaleones según su color: V=verdes ,M=marrones, G=grises), coinciden en número por ejemplo 'n', al emparejarlos desapareceran en  'n' pasos.
La clave es saber si se puede ocurrir esto,es decir su diferencia es cero.
Sean el numero inicial de camaleones: V=v , M=m y G=g
Como ya ha dicho, si se encuentran 2 colores distintos ,por ej. V y M, el número total de camaleones pasaría:
V=v-1 ,M=m-1 y G=g+2, la diferencia entre ellos será: V-M=v-m (la diferencia  no cambia) G-V=g-v +3 y G-M=g-m +3
(la diferencia se incrementa o decrementa en 3).
Esto en cada encuentro la diferencia se incrementará o decrementará en 3,6,9,12...

Para que la diferencia entre dos colores pase a ser cero, debe ser al principio multiplo de tres:
ejemplo:

22,16 y 24, diferencias  16-22=-6 (en dos pasos se igualan +3 y +3), 24-22=2 y 24-16=8.
Entonces si puede quedar un solo color. Como dice abdulai, emparejo 2 veces 22 y 24, pasan a 20 y 22 y 16->20, una vez igualado 20 y 20 los emparejo.

En definitiva es lo que comenta el_manco, para que la diferencia entre 2 números sea múltiplo de tres, sus restos de dividirlos entre 3 deben coincidir, es decir son congruentes modulo 3, en caso que los restos sean distintos todos, no puede quedar un solo tipo de camaleón
como \( 20\equiv{2} (mod3) \), \( 19\equiv{1} (mod3) \) y \( 18\equiv{0} (mod3) \)
dan restos distintos, no puede darse el caso.

De aqui que la solución no cambia si sumamos o quitamos la misma cantidad a cada color, se incrementa en la misma cantidad el resto y siguen siendo distintos. Y además el resto ( de la división entre 3 ) no cambia si le sumamos múltiplos de 3 a cualquier color, ( son propiedades de la teória de congruencias)
saludos.

[cerrar]