La pregunta va dirigida a Carlos, quien me ha dicho...
Tendrías que aportar pruebas de que yo haya dicho esas cosas, lo cual es difícil teniendo en cuenta que no pruebo el alcohol salvo si me toca brindar con cava por algún motivo.
...que hay una sola lógica "intuitiva", ... que permite demostrar toda sentencia "verdadera".
Yo no puedo haber dicho eso porque es radicalmente falso (y soy consciente de ello). El conjunto de las sentencias aritméticas verdaderas no es recursivo, luego no existe ningún procedimiento que nos permita saber de un modo u otro si una sentencia dada es verdadera o falsa. Como decía Raymond Smullyan "puedo demostrarlo todo" es la afirmación característica del matemático borracho.
Por poner un ejemplo en concreto, es plausible que la teoría de conjuntos ZFC es consistente, pero si lo es, entonces la afirmación "ZFC es consistente" puede expresarse como una cierta propiedad de los números naturales (por ejemplo, como que un cierto polinomio de varias variables con coeficientes enteros no tiene soluciones naturales), es verdadera y no hay forma alguna de demostrar que es verdadera. (Fíjate que no estoy afirmando que es verdadera. Sólo digo que parece ser verdadera, pero que, si lo es, no puede demostrarse que lo es, uses la lógica que uses.)
...que hay una sola lógica "intuitiva", diǵámoslo así, la cual se formaliza con la lógica de 1er orden
Tampoco he dicho nunca que la lógica de primer orden formalice toda nuestra capacidad de razonamiento lógico. Simplemente, formaliza todas las formas de razonamiento que necesitamos para hacer matemáticas, que no es lo mismo.
Por ejemplo, nosotros podemos razonar teniendo en cuenta que las cosas cambian con el tiempo, de modo que hay que distinguir en que una afirmación sea verdadera hoy pero pueda pasar a ser falsa mañana. Pero la matemática no necesita formalizar ese tipo de situaciones lógicas, porque describe unos objetos inmutables (no se contempla la posibilidad de que un conjunto pueda tener unos elementos hoy y otros mañana). La teoría de conjuntos permite estudiar en su seno situaciones que varían con el tiempo, pero a base de representarlas mediante funciones que dependen de una variable temporal, pero las funciones mismas son concebidas como objetos inmutables.
Por otra parte, uno puede razonar distinguiendo entre las cosas que sabe que son ciertas, las que sabe que son falsas y las que no sabe si son ciertas o falsas, y eso nos lleva a lógicas trivaluadas, o multivaluadas, que no son necesarias para fundamentar la matemática, pues la fundamentación de la matemática no descansa en lo que podamos saber o dejar de saber sobre los conjuntos.
Y así se podría hablar de muchos contextos lógicos formalizables en otros tipos de lógica, como la lógica modal que distingue entre lo que es posible y lo que es necesario, etc.
Pero nada de eso hace falta para fundamentar las matemáticas.
... que hay una sola lógica "intuitiva", diǵámoslo así,
Ahí tendría que hacer un matiz filosófico que, como nunca ha sido relevante para nada de lo que hemos hablado, nunca he llegado a precisar (creo que alguna vez lo hice de pasada). Tampoco es muy relevante ahora, así que lo pongo en un spoiler prescindible. El resumen es que la lógica no tiene nada que ver con la intuición, sino con el pensamiento, que son cosas muy distintas. Pero, ya digo, para lo que aquí se trata el matiz no es importante.
Prescindible
La lógica estudia qué razonamientos son correctos y cuáles no lo son. Los razonamientos son pasos de una o varias afirmaciones (premisas) a una conclusión. La lógica determina cuándo esos pasos son "fiables" y cuándo no. Pero es imposible razonar sólo con la lógica, pues lo único que puede obtener la lógica sin ninguna premisa son tautologías, y las afirmaciones interesantes a las que uno suele llegar razonando son interesantes precisamente porque no son tautologías.
Para poder llegar a conclusiones no triviales mediante razonamientos necesitamos premisas no triviales. Si queremos conclusiones sobre el mundo físico, esas premisas no triviales las aporta la experiencia, la observación, los datos experimentales, etc. Pero para llegar a conclusiones matemáticas no triviales, no tautológicas, como que una unión finita de conjuntos finitos es finita, necesitamos premisas no tautológicas que no pueden ser observaciones físicas, pues las afirmaciones matemáticas no dependen de cuál sea la física de nuestro universo. Ahí es donde interviene la intuición. La intuición nos permite convencernos de que determinadas afirmaciones no pueden ser falsas, simplemente porque son inconcebibles. Por ejemplo, no necesitamos ninguna demostración, no necesitamos recurrir a la lógica, para concluir que, mientras con tres rectas podemos encerrar un área finita no nula (formando un triángulo) es imposible delimitar un área finita no nula mediante dos rectas. Simplemente, sabemos que es imposible concebir tal cosa y no por falta de imaginación por nuestra parte, sino que no podemos imaginarlo porque no es posible, siempre entendiendo que llamamos "recta" a lo que intuitivamente se llama "recta" y no a otra cosa que cumpla los axiomas de una geometría distinta de la tridimensional y euclídea, que es la geometría intuitiva.
Compara las afirmaciones:
A) de p y "p implica q" podemos deducir q
B) por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.
Las dos son inmediatas, pero son de naturaleza distinta. La segunda es intuitiva. Puedo afirmar que es cierta (siempre y cuando interpretemos "recta" y "paralela" con sus significados intuitivos, y no con otros significados alternativos que pueden elegirse para que se cumplan los axiomas de otras geometrías) porque veo (intuyo) que es cierta, en un sentido muy preciso de la palabra intuición que no tiene absolutamente nada que ver con "me parece plausible", o "razonable", o "probable" o nada parecido. Sencillamente, sé que es imposible que yo pueda imaginarme nunca una recta tal que por un punto exterior le pasen dos paralelas o ninguna.
La primera, en cambio, no tiene nada de intuitivo. Si puedo afirmar la segunda porque tengo un acceso intuitivo a la geometría tridimensional euclídea, en cambio la primera sé que es cierta porque tengo uso de razón. Hay seres que tienen uso de razón y otros que no lo tienen, y la diferencia consiste en saber distinguir si cosas parecidas a A) son inferencias válidas, como en el caso de A), o si no lo son. Pero ni A) ni B) se siguen de ningún razonamiento. Mi capacidad de reconocer que afirmaciones como B) son intuitivamente verdaderas me proporciona premisas fiables para mis razonamientos matemáticos, mi capacidad de reconocer que afirmaciones como A) son racionalmente válidas me permite pasar de las afirmaciones intuitivamente verdaderas evidentes a otras afirmaciones intuitivamente verdaderas pero no evidentes.
Por ejemplo, que las bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto es una afirmación intuitivamente verdadera no evidente, en el sentido de que nadie puede afirmar que tenga que ser necesariamente cierta, pero es fácil construir un razonamiento que conste sólo de inferencias racionalmente válidas como A) y de premisas intuitivamente evidentes como B) que termine con la afirmación de que las bisectrices de un triángulo deben ser coincidentes.
Pero esta diferencia entre intuición y razón no es relevante, como digo, para lo que tratamos aquí.
Entonces, ¿qué relación tienen todas esas lógicas intermedias, incluyendo la versión formalizada del "intuicionismo", con la lógica clásica?
¿Acaso formalizan sólo "porciones" de la lógica clásica?
¿Son teorías consideradas "incompletas"?
Bueno, permíteme un paralelismo con la geometría (que en el spoiler he dicho que no es exactamente lo mismo, pero podemos pasar por alto la sutileza).
Comparemos la geometría tridimensional euclídea con la geometría cuatridimensional euclídea. Las dos admiten una formalización mediante un sistema axiomático adecuado, pero sólo la primera tiene para nosotros contenido intuitivo, la segunda no. Puedo imaginarme un cubo, pero no un cubo de cuatro dimensiones. A lo sumo, puedo imaginarme una proyección tridimensional de un cubo de cuatro dimensiones, pero no puedo ver un vértice al que llegan cuatro aristas perpendiculares. Entonces, ¿qué hacemos con las distintas geometrías? Muy simple: estudiar formalmente las que sólo podemos manejar formalmente, y estudiar formal y/o intuitivamente las que podemos estudiar intuitivamente.
Pero los ejemplos de lógicas que me citas no son contrarias a "nuestra" lógica, es decir, la lógica con la que opera nuestra razón, quieras o no, sino lógicas más débiles.
Un ejemplo paralelo sería la geometría absoluta, cuyos axiomas son los de la geometría euclídea menos la el axioma de las paralelas. Su interés está en que sus teoremas valen tanto para la geometría euclídea como para la de lobachevski. ¿Es una geometría intuitiva? No, no lo es en absoluto. Es más débil que la geometría intuitiva y eso la hace NO intuitiva. Porque intuitivamente puedo saber (sin que medie razonamiento alguno) si ciertas afirmaciones son o no teoremas de la geometría tridimensional euclídea, pero no puedo saber si son o no teoremas de la geometría absoluta, ya que mi intuición sólo me muestra si la afirmación evidente en cuestión es verdadera o no, pero me muestra cuáles de los axiomas de la geometría euclídea son necesarios para demostrar que es verdadera y, en particular, no me dice si el de las paralelas será necesario o no.
Alguien que esté familiarizado con la geometría absoluta puede tener facilidad para conjeturar con fiabilidad si una afirmación es demostrable o no sin el axioma de las paralelas, pero ello no será producto de su intuición, sino de su capacidad de generar razonamientos en una determinada teoría axiomática (la geometría absoluta).
Pues lo mismo vale para las lógicas que me citas. Son más débiles que la lógica que nuestra razón es capaz de usar, y pueden tener un interés matemático análogo al que tienen las geometrías distintas de la geometría intuitiva. A mí personalmente no me interesan mucho, pero tampoco me interesan las geometrías en general, y eso no significa nada y, desde luego, no es un juicio de valor.
Si alguien considera que hay razones para negarse a usar algún principio de la lógica clásica, como el tercio excluso, o cualquier otro, tendrá que justificarlo. Más concretamente, tendrá que justificar qué se supone que hemos de hacer con todos los teoremas matemáticos que lo usan necesariamente en sus demostraciones. Nadie va a poder justificar nunca que un libro de matemáticas que usa la lógica clásica "no debe ser leído", con lo que si uno trabaja con lógicas como las de la página que citas, simplemente está autonegándose una serie de principios lógicos y de teoremas. Eso a veces tiene interés. Por ejemplo, debilitando el principio de inducción en la aritmética de Peano puedes obtener una aritmética en la que las funciones que pueden definirse en ella son precisamente las recursivas primitivas, luego esa restricción no es gratuita, sino que es una forma útil de justificar que ciertas funciones son recursivas primitivas (viendo que son definibles en esa aritmética restringida), ahora, si esa restricción, si el saber que algo puede ser demostrado a partir de menos principios que los de la lógica clásica, no aporta nada en especial, .... pues estaríamos haciendo con una mano atada a la espalda lo que sería más fácil hacer con dos manos.
Otra cosa es que todas esas lógicas pueden estudiarse en calidad de estructuras algebraicas, igual que los topólogos estudian espacios topológicos. Preguntarse entonces para qué estudiar tal o cual lógica es como preguntarse para qué estudiar tal o cual espacio topológico. Hay lógicas que pueden no parecerse en nada a la lógica clásica igual que puede haber espacios topológicos que no se parezcan en nada a lo que uno entiende intuitivamente por "espacio".
