[ancape]

Hola

Conectado con el problema planteado en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126190.0 y resuelto por Luis Fuentes y Seroig me surge el siguiente problema:

¿Es cierta la afirmación:? Sea \( EFG \) un triángulo equilátero inscrito en el triángulo dado \( ABC \), entonces al menos uno de los lados de \( EFG \) y otro de \( ABC \) son paralelos.

Saludos

[Seroig]

Piénsalo al revés
Un triángulo circunscrito a otro.
A un triángulo equilátero se le pueden circunscribir infinidad de triángulos equiláteros, pero únicamente uno tendrá sus lados paralelos al dado.

[ancape]

Piénsalo al revés
Un triángulo circunscrito a otro.
A un triángulo equilátero se le pueden circunscribir infinidad de triángulos equiláteros, pero únicamente uno tendrá sus lados paralelos al dado.

Pero el triángulo \( ABC \) no tiene porqué ser equilátero.

[Seroig]

Efectivamente, pero de momento tenemos un contraejemplo que mentalmente se puede visualizar.
Y con regla te será muy fácil circunscribir (o inscribir) triángulos a uno dado, pero si no te esmeras mucho puede que no consigas paralelismos en ningún par de lados.

[ancape]

.....
¿Es cierta la afirmación:? Sea \( EFG \) un triángulo equilátero inscrito en el triángulo dado \( ABC \), entonces al menos uno de los lados de \( EFG \) y otro de \( ABC \) son paralelos.
.....

Como ha señalado en su respuesta Seroig, la afirmación no es cierta, pues pensando el problema al revés, si partimos de un triángulo equilátero \( EFG \), trazando 3 rectas apropiadas por sus vértices, tendremos un triángulo \( ABC \) con lados no paralelos al anterior y que lo circunscribe.

El problema que no logro resolver es dar el triángulo \( ABC \) y construir el triángulo equilátero \( EFG \) inscrito en él y con ningún lado parallelo, Está claro que esisten triángulos \( ABC \) en los que se puede inscribir un equilátero de lados no paralelos, pero ¿Cómo hacerlo si se da uno de tales triángulos?. Tampoco tengo respuesta para: Dado un triángulo \( ABC \), ¿Podemos inscribir en él un triángulo equilátero cuyos lados no sean paralelos a ninguno de los de \( ABC \)?

Saludos

[Seroig]

¿Vale de ejemplo?

[ancape]

¿Vale de ejemplo?

Seroig
El ejemplo de la figura que adjuntas no me vale. Efectivamente si te doy el triángulo grande, me respondes con el pequeño que es equilátero, está inscrito en el grande y no hay paralelismo de lados, pero el problema es que me debes responder para cualquier triángulo que pueda darte. Por ejemplo, toma el triángulo de lados \( AB=12 \), \( BC=7 \), \( CA=15 \) con el lado CA apoyado en el eje \( x \). Busca un triángulo equilátero \( EFG \) con ningún lado paralelo a \( ABC \) e inscrito en él. Tienes que hacerlo exactamente, es decir tienes que dar las coordenadas de \( E,F,G \).
Saludos

[ancape]

Hola

Seroig, siguiendo tu consejo "piénsalo al revés" creo que he dado con la construcción que buscaba.

Me dan el triángulo \( ABC \), por ejemplo de lados \( 7,12,15 \) como dije en la respuesta anterior. Dibujo un triángulo equilátero cualquiera \( E'F'G'  \) cuidando de que no tenga ningún lado paralelo a los de \( ABC \). Construyo el triángulo \( A'B'C' \) trazando paralelas por \( E',F',G' \) a los lados de \( ABC \). Considero la homotecia de centro \( P \) punto intersección de las rectas \( AA' \) y \( CC' \) y razón el cociente \( \displaystyle\frac{AB}{A'B'} \). El triángulo homólogo de \( A'B'C' \) es \( ABC \) y el homólogo de \( E'F'G' \) que también es equilátero es el triángulo buscado.



Saludos

[Seroig]

Creo, compruebo con GeoGebra, y supongo que puedo calcular analíticamente que:
Dado un triángulo ABC es posible inscribir en él INFINIDAD de triángulos equiláteros sin que ambos tengan ningún par de lados paralelos.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Otro punto de vista para construir el triángulo es encontrar el triángulo equilátero inscrito que tiene como vértice un punto \( D \) fijado en el lado \( AB \).

 Para resolverlo basta tener en cuenta que si rotamos toda la figura \( 60 \) grados con centro en \( D \) el triángulo equilátero llevaría uno de sus vértices distintos de \( D \). Por tanto estos pueden obtenerse girando \( 60 \) grados el lado \( AC \) con centro en \( D \) y cortándolo con \( CB \); y girando el lado \( BC \) con el giro opuesto y cortándolo con \( AC \).

 Puede verse la construcción en el dibujo, donde los puntos \( D \) y \( C \) son móviles; el segmento rojo marca los puntos de \( AB \) donde puede estar \( D \) para que el triángulo exista.


Saludos.

P.D. Si el ángulo \( C \) es mayor de \( 120 \) grados, los límites del segmento rojo no están bien calculados. Tengo que revisarlo.

Si el ángulo \( C \) es exactamente igual a \( 120 \) grados entonces, el punto \( D \)tiene que ser fijo (en el corte de la bisectriz de \( C[tex], con el lado [tex]AB \)). No obstante aún así hay infinitos triángulos equiláteros por que los segmentos que cortaba para hallar los otros dos vértices son cocincidentes. Es el único caso en el que el método que describo no permite construir los triángulos equiláteros.