[cristianoceli]

Hola, tengo dudas con este ejercicio

Denote \( {\mathbb{R}}^\infty \) el conjunto de todas las sucesiones en \( \mathbb{R} \). Para \( x,y \) defina \(  d \) como:

\( d(x,y)= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{n!} \displaystyle\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|} \)

Muestre que \( d \) es una métrica.

Lo que he hecho:

Tengo que probar los siguientes axiomas

i) \(  d(x,x)=0  \)

ii) Si \(  x \neq y \)  , entonces \(  d(x,y) > 0  \)

iii)  \( d(x,y)=d(y,x)  \)

iv)  \( d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)  \)

y que la sumatoria define una metrica acotada en los reales pero no se me ocurre.


Saludos

[Fernando Revilla]

Denote \( {\mathbb{R}}^\infty \) el conjunto de todas las sucesiones en \( \mathbb{R} \). Para \( x,y \) defina\(  d \) como: \( d(x,y)= \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{n!}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|} \) Muestre que \( d \) es una métrica.

Puedes seguir los pasos del muy parecido ejercicio: Métrica producto $$d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$$.
Por ejemplo, \( 0\le \displaystyle\frac{1}{n!} \displaystyle\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}\le \frac{1}{n!}\cdot 1=\frac{1}{n!} \) y la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{n!} \) es convergente con lo cual,  \( d(x,y)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{n!} \displaystyle\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|} \) existe, es finito y \( \ge 0. \)

[cristianoceli]

Denote \( {\mathbb{R}}^\infty \) el conjunto de todas las sucesiones en \( \mathbb{R} \). Para \( x,y \) defina\(  d \) como:
\( d(x,y)= \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{n!}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|} \) Muestre que \( d \) es una métrica.

Puedes seguir los pasos del muy parecido ejercicio: Métrica producto \( d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)} \).

Por ejemplo, \( 0\le \displaystyle\frac{1}{n!} \displaystyle\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}\le \frac{1}{n!}\cdot 1=\frac{1}{n!} \) y la serie \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{n!} \) es convergente con lo cual,  \( d(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{n!} \displaystyle\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|} \) existe, es finito y \( \ge 0. \)

Muchas gracias Fernando, lo leere detenidamente si tengo dudas consulto.


Saludos