Hola.
Consideremos un cuerpo \( \mathbb{K} \).
Vamos a definir una categoría \( \mathfrak{C} \) de la siguiente manera:
\( Ob(\mathfrak{C})=\mathbb{N} \) y para cada \( n,m\in \mathbb{N} \) tenemos \( Mor_{\mathfrak{C}}(n,m)=M_{m\times n}(\mathbb{K}) \) donde
\( M_{m\times n}(\mathbb{K}) \) es el conjunto de matrices de orden \( m\times n \) con entradas en \( \mathbb{K} \).
La composición está dada por el producto de matrices y las identidades
son las matrices identidad.
Para cada \( V\in \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) fijamos una base \( \beta_{V} \) de V.
Si \( T:V\to W \) es una transformación lineal, definimos \( A_T \) como la
matriz asociada a \( T \) en las bases \( \beta_{V} \)y \( \beta_{W} \).
Definimos \( \mathcal{F}: \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin}\to \mathfrak{C} \) de la siguiente manera:
En objetos: Para cada objeto \( V\in \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) definimos \( \mathcal{F}V:=Dim(V) \)
en \( \mathfrak{C} \) donde \( Dim(V) \) es la dimensión del espacio vectorial \( V \).
En flechas: Dada la flecha \( T:V\to W \) en \( \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) definimos la flecha
\( \mathcal{F}T:=A_T:\mathcal{F}V=Dim(V)=n\to \mathcal{F}W=Dim(W)=m \) en \( \mathfrak{C} \) donde
\( A_T\in M_{m\times n}(\mathbb{K}) \).
Es fácil ver que \( \mathcal{F} \) es un funtor.
Conseguí probar que \( \mathcal{F} \) es una equivalencia.
Cómo consigo probar que \( \mathcal{F} \) no es un isomorfismo. (Un funtor es un isomorfismo si es plenamente fiel y biyectivo en objetos)
Gracias
