[malboro]

Hola.



Vamos a denotar por \( [C,Sets] \) la categoría de los funtores contravariantes donde los objetos son funtores contravariantes de la forma

\( F:C\longrightarrow{Sets} \) y las flechas son transformaciones naturales de funtores contravariantes de esa forma.

Definimos el funtor \( h:C\longrightarrow{[C,Sets]} \) de la siguiente manera:

En objetos: Para cada \( X\in{C} \) definimos un objeto   \( h_X \) de \( [C,Sets] \) de la siguiente manera: \( h_X:C\longrightarrow{Sets} \)

\(   U  -------->h_X(U)=Mor_C(U,X) \)

\( U\xrightarrow[s{}]\,{V} ------> h_XV\xrightarrow[h_Xs]\,{h_XU} \)       tal que     \( h_Xs(t)=t\circ{s}   \)     con \( t:V\longrightarrow{X} \), definido
 
así \( h_X \) es un funtor contravariante.

En flechas: Para cada \( f:X\longrightarrow{Y} \)    definimos una transformación natural \(  h_f:h_X\longrightarrow{h_Y}    \)    es facil ver que es
transformación natural.

Sea \( F:C\longrightarrow{Sets}   \)  un funtor contravariante, denotamos por \( Mor(h_X,F)  \)  el conjunto de transformaciones naturales

\( T:h_X\longrightarrow{F}  \).

Definimos  la aplicación \( L:FX\longrightarrow{Mor(h_X,F)} \)     como:

Dado un \( A\in{FX}  \)   podemos definir \( T^A:h_X\longrightarrow{F} \)  como sigue:

Dado  \( U\in{C} \), un elemento de \( h_XU=Mor(U,X)   \)    es una flecha    \( f:U\longrightarrow{X} \), esta flecha induce la aplicación

\( Ff:FX\longrightarrow{FU}  \). Definimos una aplicación \( T^A_U:h_XU\longrightarrow{FU} \)  por   \( T^A_U(f)=FfA  \).

Así definido \( T^A \)  es una transformación natural. 

\( Lema \) \( de \) \( Yoneda \)._  Sea \( C \) una categoría, \( F:C\longrightarrow{Sets} \) un funtor contravariante y \( X\in{C} \).

Entonces la aplicación     \( L:FX\longrightarrow{Mor(h_X,F)} \) definida arriba es biyectiva. 

Corolario:  El  funtor   \( h:C\longrightarrow{[C,Sets]} \) ya definido al inicio es plenamente fiel.

Este corolario es el Yoneda Embedding pero no entiendo lo siguiente:

Se puede identificar la categoría \( C \) con una subcategoría plena de \( [C,Sets] \) pues \( h:C\longrightarrow{[C,Sets]} \)  es plenamente fiel.

Quién es esa subcategoría plena?

Gracias

[geómetracat]

Es precisamente la subcategoría plena de \( [\mathcal{C}, Sets] \) formada por los funtores representables, es decir, los de la forma \(  h_A = Hom_\mathcal{C}(-,A) \) para algún \( A \in Ob(\mathcal{C}) \), vamos, la imagen del funtor \( h:\mathcal{C} \rightarrow [\mathcal{C}, Sets] \).
Este resultado lo único que te dice es que puedes pensar los objetos de \( \mathcal{C} \) como funtores \( h_A \) y los morfismos de \( \mathcal{C} \) como transformaciones naturales entre funtores de la forma \( h_A \).
Esto es útil muchas veces porque la categoría de prehaces \( [\mathcal{C}, Sets] \) siempre tiene propiedades categóricas buenas (es un topos elemental, tiene límites y colímites pequeños, exponenciales, etc).

Además, un hecho interesante (aunque no completamente obvio) es que todo funtor de \( [\mathcal{C}, Sets] \) es colímite de funtores de la forma \(  h_A  \), luego en cierta manera \( [\mathcal{C}, Sets] \) viene generada por \( \mathcal{C} \).
De hecho está caracterizada por la siguiente propiedad universal: cualquier funtor de \( \mathcal{C} \) a una categoría con colímites pequeños \( \mathcal{D} \) factoriza a través de \( [\mathcal{C}, Sets] \) vía el embedding de Yoneda.

Así pues, una buena intuición es pensar el paso de una categoría arbitraria a su categoría de prehaces como una "completación" (en sentido informal) de la categoría original, algo análogo al paso de un dominio de integridad a su cuerpo de fracciones.

Espero que te sea de ayuda.

[malboro]

Gracias Geómetracat.

No consigo ver una inclusión, cuando quiero demostrar que la categoría de funtores representables \( [C,Set]_{rep} \) es una subcategoría plena de \( [C,Set] \). Osea dados \( F,G \) dos funtores contravariantes en \( [C,Set]_{rep} \) por probar que \( Mor(F,G)_{[C,Set]}\subset Mor_{[C,Set]_{rep}}(F,G) \).

Espero una sugerencia.

Saludos

[geómetracat]

Gracias Geómetracat.

No consigo ver una inclusión, cuando quiero demostrar que la categoría de funtores representables \( [C,Set]_{rep} \) es una subcategoría plena de \( [C,Set] \). Osea dados \( F,G \) dos funtores contravariantes en \( [C,Set]_{rep} \) por probar que \( Mor(F,G)_{[C,Set]}\subset Mor_{[C,Set]_{rep}}(F,G) \).

Espero una sugerencia.

Saludos

Perdona por tardar en contestar, he estado muy ocupado últimamente y no he mirado mucho el foro.

Lo que pides se sigue rápidamente del lema de Yoneda. El enunciado general del lema de Yoneda (para funtores contravariantes) es: dada una categoría \( \mathcal{C} \), un funtor (contravariante) \( F:\mathcal{C} \rightarrow Set \) y un objeto \( X \in \mathcal{C} \), existe una biyección entre el conjunto de transformaciones naturales \( h_X \Rightarrow F \) y el conjunto \( FX \):
\( Mor(h_X, F) \cong FX \).
Además, esta biyección es natural tanto en \( F \) como en \( X \).

Ahora quieres ver que el funtor \( h:\mathcal{C} \rightarrow [\mathcal{C},Set] \) es pleno y fiel. Sea \( Y \in \mathcal{C} \) cualquier objeto y toma en el lema de Yoneda \( F=h_Y \). Entonces, tenemos una biyeccion:
\( Mor_{[\mathcal{C},Sets]}(h_X,h_Y) \cong h_Y(X) = Mor_\mathcal{C}(X,Y) \),
y esto es exactamente la definición de que \( h \) es pleno y fiel.

[malboro]

Muchas gracias.

Se puede demostrar eso sin usar el Lema de Yoneda?

Saludos

[geómetracat]

Poderse claro que se puede, pero tampoco tiene mucho sentido pues es esencialmente repetir la prueba del lema de Yoneda en un caso particular, no se simplifica demasiado. De todas formas, la demostración del lema de Yoneda es (como casi todos los resultados en teoría de categorías básica) esencialmente trivial, pues solamente hay un cosa sensata a hacer en cada paso de la demostración.

[malboro]

Hola Geòmetracat.

Cuando colocas esto:

Este resultado lo único que te dice es que puedes pensar los objetos de C como funtores\(  h_A \) y los morfismos de C como transformaciones naturales entre funtores de la forma \( h_A \). Eso si lo entiendo Geòmetracat, pero cuando la categorìa C es la categorìa de esquemas y vemos la idea del funtor de puntos de un esquema,digamos \( X \), ENTONCES via el embedding de Yoneda podemos identificar al esquema \( X \) por \( h_XY:=Mor(Y,X) \). Esto ùltimo no me queda claro.¿ El esquema \( X \) no tiene que ser identificado por el funtor contravariante \( h_X \)?, ¿porquè se identifica con  \( h_XY:=Mor(Y,X) \)?

Muchas gracias.

[geómetracat]

Sí claro. El esquema \( X \) queda identificado con el funtor \( h_X:Sch^{op} \to Set \), que viene definido por \( h_XY = Hom_{Sch}(Y,X) \). Pero no basta con dar \( Hom_{Sch}(Y,X) \) para un único esquema \( Y \) para identificar \( X \).

[malboro]

Muchas gracias Geòmetracat.
No entiendo bien esto que dices:
Pero no basta con dar \(  HomSch(Y,X)  \)para un único esquema Y para identificar X.
SI cambio el esquema Y ¿ X no serìa otro?


A ver si este ejemplo tiene sentido.


 El esquema afìn \( X=Spec(R) \) donde \( R=\mathbb{Z}[x,y]/ \langle 1+x^2 \rangle  \)
  se identifica con \( \{(a,b)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid 1+a^2=0 \}=\emptyset \)  cuando
\( Y=Spec(\mathbb{R}) \) pues \( X=Spec(R) \) se identifica vìa la inmersiòn de Yoneda con el funtor \( \mathcal{H}_X:\mathfrak{Esq}\to \textbf{Set} \) dado por \( \mathcal{H}_XY:=Mor_{\mathfrak{Esq}}(Y,X) \).


Pero si \( Y=Spec(\mathbb{C}) \), el esquema afìn \( X=Spec(R) \) se identifica con

\( \{(a,b)\in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \mid 1+a^2=0 \} \).

[geómetracat]

El ejemplo está bien.

Lo que quería decir es que si tú me das un funtor \( F:Sch^{op} \to Set \) y me dices además que es de la forma \( F=h_X \) para algún esquema \( X \) (pero no me dices qué esquema es \( X \)), yo puedo decirte qué esquema es \( X \) (salvo isomorfismo) a partir únicamente del funtor \( F \). En otras palabras, es esencialmente lo mismo dar un esquema que dar su funtor de puntos (esto no es más que el embedding de Yoneda).

Ahora bien, si únicamente me das \( F(Y) \) para algún esquema \( Y \) fijado, no seré capaz de reconstruir \( X \).
Por ejemplo, si me dices que un esquema \( X \) cumple que \( Hom_{Sch}(\operatorname{Spec} \Bbb R, X) = \emptyset \) y no me dices nada más, yo no puedo saber cuál es el esquema \( X \). Podría ser que \( X= \operatorname{Spec} \Bbb Z\left[x,y\right]/(x^2+1)  \), pero también podría ser \( X= \operatorname{Spec} \Bbb Z\left[x,y\right]/(x^2+2)  \), que es un esquema distinto.