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Mensajes - Marcos Castillo

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1
¡Muchas gracias! En el libro llaman Teorema del Valor Medio tanto a éste como al Teorema del Valor Intermedio.

Un saludo

2
Hola, creo que debo contextualizarlo para compartir la hipótesis con el Foro:

Hipótesis: es indiferente apelar al Teorema del Valor Medio que al del Valor Intermedio, en este caso

Cito el ejercicio:

Citar
Un punto \( P \) se mueve por el eje \( x \) de forma que su posición en el instante \( t \) se expresa como

\( x=2t^3-15t^2+24t\;\mbox{m} \)

(a) Calcule la velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \).
(b) ¿En qué dirección y con qué velocidad se mueve \( P \) en \( t=2\;\mbox{s}? \).
(c) ¿Cuándo está \( P \) en reposo instantáneo?¿Cuándo no cambia instantáneamente el módulo de su velocidad?.
(d) ¿Cuándo se mueve \( P \) a la izquierda? ¿Y a la derecha?.
(e) ¿Cuándo está \( P \) acelerando?¿Y desacelerando?.


(a) La velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \) son

\( v=\dfrac{dx}{dt}=6t^2-30t+24=6(t-1)(t-4)\;\mbox{m/s} \) y

\( a=\dfrac{dv}{dt}=12t-30=6(2t-5)\;\mbox{m/s}^2 \)

(b) En \( t=2 \) tenemos \( v=-12 \) y \( a=-6 \). Por lo tanto \( P \) se mueve hacia la izquierda con una velocidad de \( 12\;\mbox{m/s} \), y como la velocidad y la aceleración son negativas, el módulo de la velocidad aumenta.
(c) \( P \) está en reposo cuando \( v=0 \), es decir, cuando \( t=1\;\mbox{s} \) o \( t=4\;\mbox{s} \). Su velocidad no cambia cuando \( a=0 \), es decir, en \( t=5/2\;\mbox{s} \).
(d) La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0. Examinando los valores de \( v(t) \) en \( t=0 \), \( 2 \) y \( 5 \) (o analizando los signos de los factores \( (t-1) \) y \( (t-4) \) en la expresión de \( v(t) \), se concluye que \( v(t)<0 \) (y \( P \) se mueve a la izquierda) en el intervalo \( (1,4) \) y \( v(t)>0 \) (y \( P \) se mueve a la derecha) en los intervalos \( (-\infty,1) \) y \( (4,\infty) \).
(e) La aceleración \( a \) es negativa para \( t<5/2 \) y positiva para \( t>5/2 \). La tabla 3 combina esta información con la información de \( v \) para demostrar cuándo \( P \) está acelerando y decelerando.


¿Ahora sí tiene sentido el Teorema del Valor Medio?.

Un saludo

3
Hola, estimado Rincón

En un ejercicio de cálculo me he encontrado con una frase que creo que puedo sacar de contexto y citar

Citar
La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.

Cito también los dos teoremas

Citar

Teorema del Valor Medio

Sea una función \( F \) continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que

\( \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)

Teorema del Valor Intermedio

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \) y \( s \) es un número real comprendido entre los números \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe un punto \( c \) en \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \)


La función es \( v=6t^2-30t+24 \), correspondiente a la velocidad en función del tiempo de un punto \( P \) que se mueve por el eje \( x \).

La duda es sobre la cita primera: ¿Por qué el Teorema del Valor Medio implica signo constante en los intervalos entre los que que vale 0?¿Y por qué no el Teorema del Valor Intermedio?

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio afirma que una función continua en un intervalo \( [a,b] \) toma todos los valores comprendidos entre \( f(a) \) y \( f(b) \). Así que creo que así sí entiendo la cita; el Teorema del Valor Medio es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Y aquí dudo, pero tengo la sensación de que es igual de válido.

¡Un saludo!

4
Cálculo 1 variable / Re: Problema de valor inicial
« en: 16 Junio, 2021, 07:30 pm »
¡Puf! :-[ Muchas gracias. Adjunto imagen de la primitiva para \( C=0 \), \( f \) y para \( C=\dfrac{7}{2} \), \( g \), que pasa por el punto \( (-2,1) \). Se ve muy gráficamente.



¡Un saludo!

5
Cálculo 1 variable / Problema de valor inicial
« en: 16 Junio, 2021, 02:15 pm »
Hola

Tengo un ejercicio resuelto ilustrativo y una cuestión teórica

Citar
Ejemplo 7 Resuelva el problema de valor inicial

\( \begin{cases}{y'=\dfrac{3+2x^2}{x^2}}\\y(-2)=1 \end{cases} \)

¿Dónde es válida la solución?

Solución

\( y=\displaystyle\int \left ({\dfrac{3}{x^2}+2}\right )dx=-\dfrac{3}{x}+2x+C \)

\( 1=y(-2)=\dfrac{3}{2}-4+C \)

Por tanto, \( C=\dfrac{7}{2} \) y

\( y=-\dfrac{3}{x}+2x+\dfrac{7}{2} \)

Aunque la solución parece estar definida para todo valor de \( x \) excepto el 0, el PVI sólo tiene solución para \( x<0 \). Esto se debe a que \( (-\infty,0) \) es el mayor intervalo que contiene al punto inicial -2 pero no \( x=0 \), donde la \( y \) está indefinida

Cito el texto de la cuestión teórica:

Citar

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. La ED del ejemplo 5 (\( x^2y''-xy'-3y=0 \)) es de segundo orden ya que en ella interviene \( y'' \), y no hay derivadas de \( y \) de orden superior. Nótese que en la solución que se ha verificado en el ejemplo 5 intervienen dos constantes arbitrarias, \( A \) y \( B \). Esta solución se denomina solución general de la ecuación, ya que se puede demostrar que cualquier solución es de esta forma, dando valores concretos a las constantes \( A \) y \( B \). Se obtiene una solución particular de la ecuación asignando valores concretos a esas constantes. En la solución general de una ecuación diferencial de orden \( n \) aparecen \( n \) constantes arbitrarias.
Un problema de valor inicial (PVI) está formado por:

(a) una ecuación diferencial (para resolverla encontrando una función desconocida) y
(b) valores de la solución y de un número suficiente de sus derivadas en un punto determinado (el punto inicial) para determinar los valores de todas las constantes arbitrarias en la solución general de la ED y obtener, así, una solución particular.

Observación Es habitual utilizar el mismo símbolo, por ejemplo \( y \), para indicar la variable independiente y la función solución de una ED o de un PVI. Es decir, la función solución se denominará \( y=y(x) \), en vez de \( y=f(x) \).

Observación La solución de un PVI es válida en el máximo intervalo que contenga a los puntos iniciales donde se define la función solución.


Es esta última observación: no entiendo por qué la solución es válida en el máximo intervalo que contenga al punto inicial.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Primitivas e intervalos
« en: 15 Junio, 2021, 10:00 am »
Hola

¡Así sí lo entiendo! El problema es, a mi parecer, que sí es un intervalo, pero no es conexo.

No, no es un intervalo. Son DOS intervalos.


Perfecto


De todas formas esto es cuestión de nombre, de "a que cosa" llamamos intervalo. El principio lo importante es la idea, no el nombre. Lo que pasa es que en este caso el nombre de intervalo se utiliza tanto que si no sabes bien lo que es te acabarás liando al leer literatura al respecto.

Saludos.

el_manco, gracias

¡Un saludo!

7
Cálculo 1 variable / Re: Primitivas e intervalos
« en: 14 Junio, 2021, 04:12 pm »

Y la observación es que si \( I \) NO es un intervalo (no es conexo de hecho) el Teorema puede fallar. Y te da un ejemplo. Si consideras la función:

\( f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x>0\\-1 & \text{si}& x<0\end{cases} \)

 definida en \( I=(-\infty,0)\cup (0,+\infty) \), cumple que su derivada es nula en todo punto interior de \( I \), pero la función no es constante en \( I \).


¡Así sí lo entiendo! El problema es, a mi parecer, que sí es un intervalo, pero no es conexo.

¡Un saludo!

8
Cálculo 1 variable / Primitivas e intervalos
« en: 14 Junio, 2021, 01:22 pm »
Hola, tengo un texto y dos dudas. Primero cito:


Citar
PRIMITIVAS

Comenzaremos por definir la primitiva de una función \( f \) como una función \( F \) cuya derivada es \( f \). Es apropiado requerir que \( F'(x)=f(x) \) en un intervalo.

DEFINICIÓN 7

La primitiva de una función \( f \) en un intervalo \( I \) es otra función \( F \) que cumple
\( F'(x)=f(x) \) para \( x \) en \( I \)

Las primitivas no son únicas. De hecho si \( C \) es una constante, entonces \( F(x)=x+C \) es una primitiva de \( f(x)=1 \) en cualquier intervalo. Siempre se puede añadir una constante a la primitiva \( F \) de una función \( f \) en un intervalo y obtener otra derivada de \( f \). Lo que es más importante, todas las primitivas de \( f \) en un intervalo se pueden obtener sumando constantes a una primitiva concreta. Si \( F \) y \( G \) son primitivas de \( f \) en un determinado intervalo \( I \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}(G(x)-F(x))=f(x)-f(x)=0 \)

en dicho intervalo \( I \), de forma que \( G(x)-F(x)=C \) (una constante) en \( I \) por el Teorema 13 de la sección 2.6.

Spoiler
TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior de \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos. Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \)
[cerrar]

Por tanto, \( G(x)=F(x)+C \) en \( I \).

Nótese que ni esta conclusión ni el Teorema 13 son válidos en un conjunto que no sea un intervalo. Por ejemplo la derivada de

\( \mbox{sgn}\;x=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Es 0 para todo \( x\neq 0 \), pero \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio.

Es el razonamiento de por qué debe ser un intervalo:

\( \mbox{sgn}\;x=\dfrac{d|x|}{dx}=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Citar
Es 0 para todo \( x\neq 0 \)

Aquí está la clave de mi duda: si es 0 para todo \( x\neq 0 \), ya no es un intervalo. El razonamiento queda: "No debe ser un intervalo, porque no es un intervalo, pero  \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio."

Vamos, que algo se me escapa, y no sé qué.

Un saludo

9
Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 12 Junio, 2021, 05:06 pm »
¡Fantástico!

Perdona, Masacroso, he tardado en saber cuál era la duda exactamente  :(

Un saludo

10
Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 12 Junio, 2021, 04:07 pm »
¡Hola, Masacroso!

Voy a abrir un hilo en Physics Forums, Calculus and Beyond Homework Forum, con el título "Implicit differentiation: why apply the Chain Rule"

Es que todavía me intriga por qué \( y^2 \) se deriva como si fuera una composición de funciones. Mejor dicho, sé que debe derivarse con la Regla de la Cadena, pero soy incapaz de ver \( y^2 \) como una composición, y no como una expresión cuadrática. :banghead:

¡Un saludo!

11
Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 12 Junio, 2021, 09:41 am »
Hola, RM

¿Por qué la Regla de la Cadena para diferenciar \( y^2 \)?¿En qué consiste la Regla de la Cadena en este caso, en la notación de Leibniz? He estado viendo tutoriales en internet, y me he liado un poco.

¡Un saludo!

12
Cálculo 1 variable / Re: Longitud del arcoseno
« en: 10 Junio, 2021, 09:45 pm »
¡Hola, NoelAlmunia!

Creo que la fórmula es \( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ({\dfrac{dy}{dx}}\right )^2dx} \). Me parece que lo interesante sería saber por qué es ésta la fórmula. No he buscado más.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 10 Junio, 2021, 09:15 pm »
Hola, he tardado. He estado estudiando un poco: geometría del plano, cónicas, y derivación de la función compuesta. Y me han quitado una hernia inguinal :P

En base a  \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \), ¿como llego a \( f(g(x))=y^2 \)?

Con las funciones dadas tienes que \( f(g(t))=(y(x))^2 \), que es lo que se denota al escribir \( f(g(x))=y^2 \) ya que se entiende en este contexto que \( y \) está en función de \( x \).



Me lío con la notación: ¿por qué la \( t \)?; creo que ya sé: porque \( g(x)=y(x) \). ¿Por qué la regla de la cadena?

¡Un saludo!

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Hola
Por el desarrollo que ha hecho feriva interpreto que la ecuación inicial de Marcos responde a la que muestro en la figura.

saludos

¡Hola, ToniGim!

No he sabido abrir la imagen que has adjuntado, pero la ecuación inicial que he escrito ha sido \( X=A+\lambda\mathbf v \): la fórmula de la ecuación general de la recta, no de una recta en particular. Mi mensaje es un galimatías algebraico; feriva ha partido de un ejemplo concreto de ecuación general de la recta, y la ha pasado a paramétrica. No existe dibujo para lo que yo he escrito.

¿Preguntabas eso?

¡Un saludo!

PS: Fernando, pura magia.

15
Puf... ¡Muchas gracias, feriva! Me has sacado de un buen embrollo. Brillante, sencillo, completo, contundente.

¡Un saludo!

16
Hola, Rincón

Citar

Otra interpretación de la ecuación paramétrica \( X=A+\lambda\mathbf v \) es que el vector \( \vec {AX} \) depende linealmente del vector \( \mathbf v \). Por tanto

\( \mbox{det}(\vec{AX},\mathbf v)=\begin{pmatrix}{x_1-a_1}&{x_2-a_2}\\{v_1}&{v_2}\end{pmatrix}=0 \)

Desarrollando

\( v_2(x_1-a_1)+(-v_1)(x_2-a_2)=0 \)

o sea

\( v_2x_1+(-v_1)x_2+(v_1a_2-v_2a_1)=0 \)

Todas las rectas tienen una ecuación que se puede reducir a la forma general o implícita

\( Ax_1+Bx_2+C=0 \)

Siendo los números \( A \) y \( B \) no ambos nulos.

Si el sistema de referencia es cartesiano, el vector formado por los coeficientes de las variables \( x_1 \) y \( x_2 \) en la ecuación general es \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \), que es ortogonal al vector de dirección.




¿Cómo doy encaje a la imagen? Yo dibujo \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \) y me sale ortogonal, pero en sentido contrario al de la imagen, que indica \( \mathbf n=(A,B) \)

Un saludo

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Me estaba liando. Trataba de hacer transformaciones elementales en el determinante de menor orden para llegar al de mayor.

18
Perdón, entendido. No son transformaciones elementales. Consiste en desarrollar los dos determinantes: son iguales.

Un saludo

19
Hola, estimado Rincón, me encuentro con algo que creía que dominaba, pero no:

\( \begin{vmatrix}{x_1-b_1}&{x_2-b_2}\\{a_1-b_1}&{a_2-b_2}\end{vmatrix}=0 \)

Utilizando las propiedades de los determinantes se tiene que

\( \begin{vmatrix}{x_1-b_1}&{x_2-b_2}\\{a_1-b_1}&{a_2-b_2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{x_1}&{x_2}&{1}\\{a_1}&{a_2}&{1}\\{b_1}&{b_2}&{1}\end{vmatrix} \)

¿Cuáles son las transformaciones elementales?

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 05 Junio, 2021, 10:59 am »
Voy a trabajar un poco. Me falta base sobre parametrizaciones de cónicas. Un saludo.

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