Encuentro una diferencia entre “modelos de la teoría de conjuntos” tal como lo describes, y “teoría conjuntista de modelos”. Lo primero es un modelo del lenguaje de la teoría de conjuntos y lo segundo es describir la teoría de modelos dentro de la teoría de conjuntos tomada como metateoría. Resulta claro que estas haciendo lo segundo,...
Cierto. Aunque no estoy tratando la teoría conjuntista de modelos en toda su generalidad, sino únicamente su aplicación al estudio de los modelos de la teoría de conjuntos, que son muchos menos que los modelos que se pueden estudiar en la teoría de modelos. Es verdad que en los primeros mensajes he probado algunos hechos generales, porque sería tonto particularizarlos al caso de la teoría de conjuntos cuando la prueba particular sería idéntica a la prueba general.
...pero la parte más "misteriosa" se me aparece respecto a lo primero.
Je, je. Precisamente lo que pretendo con este hilo es dar la oportunidad a quien quiera intentarlo de desvanecer el misterio que muchos ven en estas cosas. Es cierto que estoy "atacando" la parte que consideras menos misteriosa, pero desde esta parte se puede iluminar bastante "la otra parte".
En tu "Lógica y Teoría de Conjuntos" inicias el tema fuera del escenario conjuntista formal.
En esa presentación yo debo presuponer las nociones de “colección de objetos”, “relación” y “función” sin más soporte que la intuición. No hay problemas en hacerlo siempre que ese conjunto esté claramente definido. Tu aclaras este punto en tu libro justamente para evitar el círculo vicioso de utilizar nociones conjuntistas fuera de la teoría de conjuntos.
Exacto, es un planteamiento que conceptualmente no tiene nada que ver con el que estoy siguiendo aquí, aunque formalmente ambos puedan resultar indistinguibles.
Supongo entonces que lo que sigue es aplicable cuando todas las afirmaciones referidas a la totalidad de los elementos de U tiene un significado preciso. Pero en el caso del lenguaje de la teoría de conjuntos, no encuentro ningún universo de objetos donde todas las afirmaciones referidas a la totalidad de ellos tengan un significado preciso; al menos un significado intuible preciso, como es el caso de las afirmaciones referidas a conjuntos no numerables, por ejemplo ¿Qué clase de cosas puede tener esa propiedad?
Aquí estas cayendo en una ingenuidad en la que cae el 99.9% de los matemáticos: pensar que por el hecho de que en ZFC puede probarse que existen conjuntos no numerables, el universo U de un modelo de ZFC debe tener una cantidad no numerable de objetos. En este hilo he demostrado que si ZFC tiene modelos, entonces tiene modelos cuyo universo es numerable. Eso se conoce como "paradoja de Skolem", aunque sólo es paradójico en apariencia. Tengo que tratar en asunto en los próximos mensajes, tal vez en el próximo.
La idea es que, en contra de lo que la mayoría de los matemáticos cree, cuando se demuestra que un conjunto es no numerable, no se está demostrando la existencia de muchos elementos, sino únicamente la no existencia de un conjunto que biyecte sus elementos con los números naturales, y "no existir" sólo significa "no existir en cualquier cosa que aspire a ser un modelo de ZFC". Perfectamente puedes tener un modelo de ZFC cuyo universo sea el conjunto U de los números naturales. Entonces, un cierto número natural será "el conjunto de los números reales" del modelo, y ciertos números naturales serán "los números reales" del modelo, pero la no numerabilidad de \( \mathbb{R} \) en el modelo sólo significa que si vas revisando los números naturales uno a uno, ninguno de ellos tendrá la propiedad de ser en dicho modelo una biyección entre \( \mathbb{N} \) y \( \mathbb{R} \).
La demostración vista aquí se basa en el teorema de Löwenheim-Skolem, que no creo que tenga ninguna "sustancia" metamatemática, es decir, que no creo que de su demostración se pueda extraer ningún argumento metamatemáticamente aceptable. Pero sucede que es posible construir modelos numerables de cualquier teoría formal consistente por un procedimiento completamente distinto, que en esencia es la demostración de Henkin del teorema de completitud de Gödel, y que está descrito en el capítulo IV de mi libro de lógica.
¿Significa esto que la teoría de conjuntos no tiene un modelo? ¿Que no existen modelos de la teoría de conjuntos?
Personalmente, no creo que nuestra intuición pueda servir de soporte para justificar la existencia de un conjunto no numerable. Sin embargo, como ya digo, si la teoría de conjuntos es consistente es posible dar una construcción intuitivamente aceptable de un modelo numerable de la teoría de conjuntos. Su universo lo puedes elegir sin problemas, el conjunto de los números naturales, por ejemplo. Lo delicado es cómo definir la relación que debe interpretar a la relación de pertenencia. Te esbozo lo que es el meollo de la cuestión (aunque para que funcione realmente hay que hacer unas correcciones técnicas, pero que no afectan a lo que quiero destacar aquí):
Partimos de una enumeración de todas las sentencias del lenguaje formal de la teoría para la cual buscamos el modelo, y a partir de ella definimos una cierta colección de sentencias, quedándonos con algunas y descartando otras. El proceso consiste en tomar la primera sentencia y quedárnosla si es consistente con los axiomas de la teoría y descartarla si es contradictoria con ellos. En el paso n-simo, nos quedamos con la sentencia n-sima si es consistente con los axiomas de la teoría y las sentencias previas que hemos aceptado, y rechazarla en caso contrario.
De este modo obtenemos una colección de sentencias que está casi en el borde de lo que la intuición nos permite soportar. Está bien definida, pues el criterio deja bien claro qué sentencias están en la colección y cuáles no (una vez fijada una enumeración de todas ellas, lo cual es efectivamente realizable), pero no podemos saber si una sentencia dada está entre las elegidas o no, porque ello supone resolver una cantidad finita de problemas de decisión, es decir, de determinar si ciertas colecciones de fórmulas son consistentes o no, y, aunque podemos afirmar que, o lo son o no lo son, no tenemos ningún medio en general de saber cuál es el caso. Si la teoría axiomática de partida es contradictoria, la colección de sentencias que hemos construido es vacía, pero si es consistente, ya es una pura manipulación mecánica el obtener a partir de ella un conjunto numerable U y unas relaciones y funciones bien definidos para que U se convierta en un modelo (numerable) de la teoría en cuestión.
En esta etapa (muy) incipiente de mi estudio del tema, pienso que un modelo es lo que resulta de asignar significado a ciertos signos de un lenguaje. Pero cuando el escenario se formaliza dentro de la teoría de conjuntos, creo que lo que realmente hacemos es asignar conjuntos a conjuntos.
Desde el momento en que los signos (formalizados) pasan a ser conjuntos, así es, pero quizá una forma más positiva de verlo es considerar que estamos restringiendo el significado de la palabra "conjunto". Cuando demostramos que un conjunto (o, en cierto sentido, una clase) M es un modelo de la teoría de conjuntos y estudiamos M, lo que estamos haciendo es ver qué sucede si, en lugar de entender por "conjunto" cualquiera de los objetos de los que se supone que estamos hablando, nos restringimos a considerar como "conjuntos" únicamente los elementos de M.
Así por ejemplo, en ZF se puede probar que si nos restringimos a considerar como conjuntos una parte de ellos, los llamados "conjuntos constructibles", el axioma de elección se cumple necesariamente, aunque sobre la totalidad de los conjuntos no pueda demostrarse que se cumple.
¿No corremos el riesgo de perder la escencia de esta herramienta?
Si te refieres a que podríamos caer en contradicciones, obviamente no. Estudiar la teoría de modelos dentro de ZFC es como estudiar anillos o espacios topológicos, es simplemente una de las muchas cosas que puede estudiar un matemático.
Si te refieres a que estamos trivializando la idea y que de ella no puede salir realmente nada interesante, la respuesta es negativa. Es cierto que a priori estamos debilitando la teoría, en el sentido de que si, por ejemplo, en ZFC demostramos que existe un modelo de la teoría de Zermelo, con ello no podemos asegurar que dicha teoría es consistente. Sólo hemos demostrado en ZFC que lo es, pero la prueba carecería de valor si ZFC fuera contradictorio, luego "no nos dice nada" metamatemáticamente valioso.
No obstante, las técnicas que estoy tratando en este hilo aportan (aparte de teoremas de interés en sí mismo, como al topólogo le puedan interesar sus teoremas sobre espacios raros) demostraciones constructivas metamatemáticamente relevantes. Por ejemplo, es posible programar a un ordenador para que si le damos una prueba de \( 0\neq 0 \) en ZFC (es decir, con el axioma de elección), el ordenador nos devuelva una demostración de \( 0\neq 0 \) en ZF (sin el axioma de elección), con lo cual sabemos (en un sentido con contenido intuitivo) que añadir el axioma de elección a ZF no puede volver contradictoria a la teoría (que si es contradictoria después, es porque ya lo era antes). Y el meollo de la prueba está en probar en ZF que la clase L de los conjuntos constructibles es un modelo de ZFC, que es parte de lo que llamas "asignar conjuntos a conjuntos".
Por último, si hay que entender lo que dices como un argumento "ético-estético", en el sentido de "no se debería hacer eso", "va contra natura", etc. lo único que puedo decir (aunque estoy convencido de que las observaciones precedentes te convencerán de que no es el caso, pero por si un lector hipotético insistiera en ver las cosas así) es que los argumentos ético-estéticos son una lacra incluso en la ética, conque no veas en matemáticas, y que si el diablo le ofrece a un matemático comprarle su alma a cambio de darle una demostración totalmente rigurosa de algo que merezca la pena, el deber del matemático es vender su alma, porque al fin y al cabo el cielo debe de ser un sitio bastante aburrido. Vamos, que la única razón para hacer ascos a una técnica que proporciona unos resultados rigurosos es que haya otra que llegue a lo mismo de forma más elegante o práctica.
