Gracias , ahora si se entiende mejor.
Esto que has puesto, es falso, y no lo da ha entender en la demostración.
\( \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f_M(x)-f_m(x))dx=M_i-m_i \) por que se da esa igualdad?
Es que no se da la igualdad, solo que saca $$f_M(x)-f_m(x)$$ fuera de la integral por ser constantes respecto a x en cada integración.
Donde \( M_i=sup\left\{{f(x):x\epsilon[x_{i-1},x_i]}\right\} \) y \( m_i=inf\left\{{f(x):x\epsilon[x_{i-1},x_i]}\right\} \)
Y \( f_m(x)=\begin{cases}{m_i}&\text{si}& x\epsilon ]x_{i-1},x_i] \\f(a)& \text{si}& x=a\end{cases} \)
\( f_M(x)=\begin{cases}{M_i}&\text{si}& x\epsilon ]x_{i-1},x_i] \\f(a)& \text{si}& x=a\end{cases} \)
Es que esta es la clave y la respuesta a lo que hace.
Se ha definido como el valor máximo y mínimo de la función en el subintervalo $$]x_{i-1},x_i] $$
Por ello $$\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f_M(x)-f_m(x))xdx=\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(M_i-m_i)xdx=(M_i-m_i)\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}xdx$$
Saludos.
