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Mensajes - Albersan

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1
Muchísimas gracias Luis,

me ha quedado todo más claro, nuevamente muchas gracias.

2
Muchas Gracias Luis,



Han pasado algunos días que dejé inconcluso este tema, pero se debió a que aún no he encontrado una respuesta en libros a lo siguiente.

Teníamos en la última respuesta que  \( f(\vec{x})=A'+M(\vec{x}-A) \)         o       \( f(\vec{x})=A'-MA+M(\vec{x}) \).

Sé que una transformación lineal señala que :

\( f(\vec{x})=B\vec{x} \), donde \( B \), es la matriz transformación lineal que traslada un vector a otro vector que ambos parten del origen.

Pero quisiera saber por favor:

                                           ¿Cuál es la diferencia entre llevar un punto de \( A \) a \( A' \)  y llevar un vector de \( B \) a \( B' \)? (o más bien que significa llevar un punto de  \( A \) a \( A' \))?

                                           ¿Qué relación hay entre la ecuación  \( f(\vec{x})=A'+M(\vec{x}-A) \)   y     \( f(\vec{x})=M\vec{x}+\vec{b} \).?



Muchísimas Gracias

3
Hola, gracias por las respuestas :

Encontré  2 funciones \( g_i \),  \( i=1,2 \), tal como Ud. escribe Luis:

\( h_i=32*\sqrt[ ]{2}(x^2+y^2+^2)^3-72*(x^2+y^2+z^2)^2+24\sqrt[ ]{2}*(x^2+y^2+z^2)-4 \),

\( h_1(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& d(\vec{x},(0,0,0))<\sqrt[ ]{2}/4\\h_1=32*\sqrt[ ]{2}(x^2+y^2+z^2)^3-72*(x^2+y^2+z^2)^2+24\sqrt[ ]{2}*(x^2+y^2+z^2)-4 & \text{si}& \sqrt[ ]{2}/4\leq d((\vec{x},(0,0,0))\leq \sqrt[ ]{2}/2\\0 & \text{si}& d(\vec{x},(0,0,0))<\sqrt[ ]{2}/2\end{cases} \)

\( h_2(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& d(\vec{x},(1,1,0))<\sqrt[ ]{2}/4\\h_2=32*\sqrt[ ]{2}((x-1)^2+(y-1)^2+(z-0)^2)^3-72*((x-1)^2+(y-1)^2+(z-0)^2)^2+24\sqrt[ ]{2}*((x-1)^2+(y-1)^2+(z-0)^2)-4 & \text{si}& \sqrt[ ]{2}/4\leq d(\vec{x},(1,1,0))\leq \sqrt[ ]{2}/2\\0 & \text{si}& d(\vec{x},(1,1,0))<\sqrt[ ]{2}/2\end{cases} \).


Estas funciones son de Clase \( C_1 \).


La transformación lineal no sé como hacerla, se que todas ellas son clase \( C_1 \), y que todos los vectores son controlados por las funciones mesetas .

De ahí multiplicar las funciones \( t_i\cdot{}h_i \) donde \( t_i \) son las transformaciones lineales y queda Ud. bien dice el producto y las suma de funciones \( C_1 \) son  \( C_1 \).


¿Alguna ayuda a hacer las transformaciones lineales?




Muchísimas Gracias.

4
Hola ¿cómo están?,

Podrían ayudarme por favor?

Mi problema consiste en lo siguiente:


Hallar una función \(  C^1 \)  \( f:  \mathbb{R^3}\rightarrow{\mathbb{R^3}} \), que lleve el vector  \( (1,1,1) \) que sale de \( (0,0,0) \), a \( (1,-1,0) \), que sale de \( (1,1,0) \), y que
                                                             lleve el vector \( (0,0,1) \) que sale de \( (1,1,0) \), a \( (-1,0,1) \), que sale de \( (0,0,0) \).


Muchísimas Gracias.

5
Muchas gracias Masacroso por el libro recomendado. Saludos.




6
Hola ¿cómo están?



Quisiera saber si se puede deducir del siguiente teorema que:


Suponga que  \( f: U\subset{}\mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R^m}} \), suponga que las derivadas parciales \( \frac{{\partial f_i}}{{\partial x_j}} \) de \( f \) todas existen, y son continuas en un entorno de punto  \( \vec{x}\in{U} \).


1)Entonces \( f \) es continua en \( \vec{x} \).


2)Y si es cierto lo siguiente, la composición de funciones continuamente diferenciables (\( C^1 \)), es continuamente diferenciable.




Muchísimas Gracias

7
Muchísimas Gracias Masacroso, ha sido de gran utilidad y de gran ayuda.

Gracias Nuevamente

8
Gracias Luis por la aclaración, me queda claro el ejemplo que Ud. escribe.



Quisiera seguir con una demostración que encontré, que dice lo siguiente, (es algo extensa, pero debo estar equivocado en algún error de notación):

Supongamos que \( x_0=0 \)   y    sea   \( h(\vec{x})=\left\|{\vec{x}}\right\|^2 \)  donde   \( h: \mathbb{R^2}\rightarrow{\mathbb{R}} \)  y sea   \( g(t) \)  un  polinomio de grado 3  tal que \( g:  \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \).  Con \( g(r_2^2)=g'(r_2^2)=g'(r_1^2)=0 \)  y  \( g(r_1^2)=1 \)

Definimos \( f(\vec{x})=0 \)  si   \( \left\|{\vec{x}}\right\|\geq{r_2} \)
                       \( =1 \)  si   \( \left\|{\vec{x}}\right\|\leq{{r_1}} \) 
                       \( =g(\left\|{x}\right\|^2) \)  si   \( r_1<\left\|{\vec{x}}\right\|<r_2 \)


Observamos que \( f(\vec{x}) \)   es clase   \( C_1 \)   en los conjuntos   \(  S_{1,2}=(\vec{x}\in{\mathbb{R^2}}:r_1<\left\|{\vec{x}}\right\|<r_2) \),    \(  S_{1}=(\vec{x}\in{\mathbb{R^2}}:\left\|{\vec{x}}\right\|<r_1) \),     \(  S_{2}=(\vec{x}\in{\mathbb{R^2}}:\left\|{\vec{x}}\right\|>r_2) \)


Luego sigue: falta demostrar que  \( f \)  es   \( C_1 \)  en   \(  S=(\left\|{\vec{x}}\right\|=r_2\vee\left\|{\vec{x}}\right\|=r_1)
 \).

Se probará que es continua en  \( S \).

Tomemos un  \( \hat{x}\in{S_2} \)   y   se verá que   \( \displaystyle\lim_{\vec{x} \to{\hat{x}}\\}{f(\vec{x})=f(\hat{x}})=0 \) .

Obviamente, si tomamos límite a través de un camino en  \( S_2 \), entonces el límite es cierto.

Asumamos que nos movemos por un camino en  \( S_{1,2} \). En este caso  \( g \)  y  \( h \)  son continuas, entonces  \( g\circ{h} \)  también lo es.  Entonces tenemos que: 
 
\( \displaystyle\lim_{\vec{x} \to{\hat{x}}\\}{g(h(\vec{x}))}=\displaystyle\lim_{\vec{x} \to{\hat{x}}\\}{f(\vec{x})}=g(h(\hat{x}))=g(r_2^2)=0=f(\hat{x}) \).

1) Lo que no comprendo en donde está   \( \hat{x} \),   ¿si en  \( S_2 \),  \( S_{1,2} \),  o   \( \left\|{\vec{x}}\right\|=r_2 \)?


Probemos ahora que las derivadas parciales existen y son continuas.  Probaremos que es verdad en  \( S \) y para eso consideremos primero que  \( \widehat{x}\in{S_2} \). Nuevamente  \(  g  \)  y  \(  h  \), son de clase  \(  C_1  \).
Esto implica que ambas son diferenciables. Entonces podemos aplicar la regla de la cadena.

\( Df(\vec{x})=[\frac{df}{d{x_1}}  \frac{df}{d{x_2}} ]=g'(h(\hat{x}))DH(\hat{x})=\vec{0} \). Esto es verdad debido a que \( g'(h(\hat{x}))=g'(r_2^2)=0 \). Esto significa que \( \frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(\hat{x})=0 \)  \( (i=1,2) \)

Entonces las derivadas parciales existen y son funciones constantes, lo que las hacen ser continuas. Como conclusión \( f \)  es   clase
  \( C_1 \).

2)¿Aquí me pierdo también, las derivadas parciales de \( g,h \)   son continuas en algún entorno de cualquier punto de \(  S_2 \) o de \( S_{1,2} \), por lo tanto son diferenciables en esos puntos. Por qué la derivada parcial en el punto \( \hat{x} \) es igual a \( 0 \) (Nuevamente no se en qué región se encuentra  \( \hat{x} \))?




Muchísimas Gracias.

9
Gracias por las respuestas, me gustaría preguntar lo siguiente:

Luis, Ud. me podría explicar nuevamente la siguiente función que propone? \( g(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x\leq r_0^2\\\dfrac{(3r_0^2-r_1^2-2x)(r_1^2-x)}{r_0^3-r_1^3} & \text{si}& r_0^2\leq x\leq r_1^2\\ {0}&\text{si}& x> r_1^2\end{cases} \), por que esa ecuación no es cúbica. La grafiqué y veo que son parábolas más bien.

Muchísimas gracias.

10
Gracias martiniano y Masacroso, busqué un polinomio de tercer grado pero me encontré con algunas dudas:

Comencé con \(  g'(x)=(x-r_1)(x-r_2)=x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2=0 \), luego obtuve \( g(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-(r_1+r_2)\displaystyle\frac{x^2}{2}+r_1r_2x+d \), con \( d \) una constante.

Reemplacé \( g(r_1)=1 \) y obtuve \( d=1-\displaystyle\frac{r_1^3}{3}+(r_1+r_2)\displaystyle\frac{r_1^2}{2}-r_1^2r_2 \).
Entonces \( g(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-(r_1+r_2)\displaystyle\frac{x^2}{2}+r_1r_2x+1-\displaystyle\frac{r_1^3}{3}+(r_1+r_2)\displaystyle\frac{r_1^2}{2}-r_1^2r_2 \).

Luego reemplacé \( g(r_2)=0 \) y llegué a que \( (r_2-r_1)^3=6 \).

1) No sé si el \( g(x) \) encontrado es el correcto.
2) ¿Por qué tomar \( g(\left |{x}\right |) \) y no \( g(x) \)?
3) ¿Cómo paso del caso \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) al caso  \( f:\mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}} \)?


Muchísimas gracias.


11
Hola ¿qué tal?

          ¿Me podrían ayudar a encontrar una función para el siguiente ejercicio por favor?

Suponga que \( x_0 \) \( \in{\mathbb{R^n}} \)  y que \( 0\leq{r_1}<r_2 \). Demuestre que hay una función \( C^1 \) \( f: \mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}} \), tal que \(  f(x)=0 \)  para \(  r_2\leq{\left\|{x-x_0}\right\|} \);  \(  0<f(x)<1 \) para  \(  r_1<\left\|{x-x_0}\right\|<r_2 \); y  \( f(x)=1 \) para \(  \left\|{x-x_0}\right\|\leq{r_1} \).  (Ayuda: Aplique un polinomio de tercer grado con \(  g(r_1^2)=1  \)  y   \( g(r_2^2)=g'(r_2^2)=g'(r_1^2)=0 \)  para \( \left\|{{x-x_0}}\right\|^2 \)  cuando \( r_1<\left\|{x-x_0}\right\|<r_2 \)). El enunciado estaba en

inglés, si es necesario lo escribo tal cual.



Muchísimas gracias.

12
Muchas gracias Masacroso:

Ahora entiendo, ha sido de gran utilidad la explicación. Estoy muy agradecido.

Saludos.

13
Si, disculpa cometí un error,

Es \(  \frac{{\partial F}}{{\partial z}}(\vec{x_0},\phi z+(1-\phi)z_0))(z-z_0) \),

\( F(\vec{x},z)=(F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0},z))  + (F(\vec{x_0},z)-F(\vec{x_0},z_0)) \)            (\( F(\vec{x_0},z_0)=0 \)   por definición).


(1)\( F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0},z)=[D_xF({\theta}\vec{x}+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \)   y
 
\( F(\vec{x_0},z)-F(\vec{x_0},z_0)= \frac{{\partial F}}{{\partial z}}(\vec{x_0},\phi z+(1-\phi)z_0))(z-z_0) \), donde se ha aplicado la misma propiedad del TVM que en (1).   \( \phi\in{[0,1]} \)


14
Hola, ¿qué tal?

               Quisiera por favor retomar este tema, porque me encontré con nuevas dificultades en el camino.

Tenía que \( F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0,z})=[D_xF({\theta}x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \), por lo tanto,

\( F(\vec{x},z)= [D_xF({\theta}x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)}+[\frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x_0},\phi z+(1-\phi)z_0
](z-z_0) \)     (\(  \theta \)  y  \( \phi \)  están entre \( 0 \) y \( 1  \))

El autor hace las siguientes suposiciones: Sea \(  a_0 \) tal que  \(  0<a_0<a \) y elige \( \delta>0 \) tal que   
   \( \delta<a_0 \)      y     \( \delta<\displaystyle\frac{ba_0}{2M} \).
Entonces si \(  \left\|{x-x_0}\right\|<\delta  \), la expresión del comienzo puede expresarse como: \( [\frac{{\partial f}}{{\partial x}}({\theta}\vec{x}+(1-\theta)\vec{x_0},z)](x-x_0)+[\frac{{\partial f}}{{\partial y}}({\theta}\vec{x}+(1-\theta)\vec{x_0},z)](y-y_0) \), donde cada derivada es menor que \( M\delta<M(\displaystyle\frac{ba_0}{2M})=\displaystyle\frac{ba_0}{2} \). Es decir, si \(  \left\|{x-x_0}\right\|<\delta  \), entonces \(  \left |{[D_xF({\theta}\vec{x}+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)}}\right |<ba_0  \),

Eligiendo \( b \) adecuadamente y si  \(  \left\|{x-x_0}\right\|<\delta  \), entonces se tiene: \(  F(\vec{x},z_0+a_0)>0 \) y \( F(\vec{x},z_0-a_0)<0 \).    ¿Por qué esto último?   


Muchísimas gracias.

15
Gracias Masacroso:

Menos mal que era un error de escritura y no un concepto.

Gracias por la ayuda.

16
Gracias Masacroso, aun debo estudiar este caso especial, escribiré más adelante,  para comprobar si los conceptos los tengo claros.
Lo que más me da problema es el termino \( \theta_x  \) en la última ecuacion  con que estamos trabajando.

Gracias.

17
Hola, ¿cómo están?

Necesito por favor que me ayuden a comprender un paso de  la demostración del teorema especial de la función implícita. (caso F  :\(   \mathbb{R^3} \rightarrow{\mathbb{R}} \)).

Suponga que la función F tiene derivadas parciales continuas. Designando a los puntos de \(  \mathbb{R^3}  \) ´por \(  (\vec{x},z)  \) , donde \(  \vec{x}\in{\mathbb{R^2}}  \)   y  \( z\in{\mathbb{R}}  \) y además sea  \( (\vec{x_0}, z_0) \) que satisface  \(  F(\vec{x_0},z_0)=0  \) y   \(  \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x_0},z_o)\neq{0}  \).

La demostracion se inicia suponiendo que  \( \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(x_0,y_0,z_o) >0  \) . Por continuidad se tienen números \( a>0 , b >0 \), tales que \( \left\|{x-x_0}\right\|<a \) y \( \left |{z-z_0}\right |<a \), entonces \(  \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x},z)>b  \).
Además las otras derivadas parciales están acotadas por un número \( M  \) en la región, deducción directa de continuidad:  \( \left |{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}(\vec{x},z)\right |\leq{M}  \),   \( \left |{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}(\vec{x},z)\right |\leq{M}  \),

escribimos \(  F(\vec{x},z)=F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0},z)+F(\vec{x_0},z)-F(\vec{x_0},z_0) \) . Finalmente si usamos la función  \( h(t)=F(t\vec{x}+(1-t)\vec{x_0},z)  \), por el teorema del valor medio tenemos que  \( \theta  \) satisface:

\(  F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0,z})=[D_xF({\theta}_x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \), éste es el paso que no entiendo.

Muchísimas gracias.

18
Hola,

Muy agradecido Juan Pablo, con su explicación se aclararon mis dudas.

Gracias alexpglez nuevamente.

Saludos.

19
Gracias Juan Pablo, gracias alexpglez,

Quisiera hacer 2 preguntas:

¿Por qué \( Dg(x_0)(u) = Dg(x_0)(\sum_{i=1}^n u_i \cdot w_i)    \) ? Creo que los \(  w_i \) se encuentran bien, pero con  los \( u_i \) no logro llegar a \( \vec{u} \).

¿Me podrían por favor explicar que significa \( K = max\{\|Dg(x_0)(w_i)\| | i \in \{1,2, \cdots , n \} \}  \).?

Muchísimas gracias.

20
Si, toda la razón, omití una parte de la función que es importante, gracias.

Me gustaría saber por favor por qué es una aplicación lineal acotada.

Muchas gracias.


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