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Temas - Albersan

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1
Hola ¿cómo están?,

Podrían ayudarme por favor?

Mi problema consiste en lo siguiente:


Hallar una función \(  C^1 \)  \( f:  \mathbb{R^3}\rightarrow{\mathbb{R^3}} \), que lleve el vector  \( (1,1,1) \) que sale de \( (0,0,0) \), a \( (1,-1,0) \), que sale de \( (1,1,0) \), y que
                                                             lleve el vector \( (0,0,1) \) que sale de \( (1,1,0) \), a \( (-1,0,1) \), que sale de \( (0,0,0) \).


Muchísimas Gracias.

2
Hola ¿cómo están?



Quisiera saber si se puede deducir del siguiente teorema que:


Suponga que  \( f: U\subset{}\mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R^m}} \), suponga que las derivadas parciales \( \frac{{\partial f_i}}{{\partial x_j}} \) de \( f \) todas existen, y son continuas en un entorno de punto  \( \vec{x}\in{U} \).


1)Entonces \( f \) es continua en \( \vec{x} \).


2)Y si es cierto lo siguiente, la composición de funciones continuamente diferenciables (\( C^1 \)), es continuamente diferenciable.




Muchísimas Gracias

3
Hola ¿qué tal?

          ¿Me podrían ayudar a encontrar una función para el siguiente ejercicio por favor?

Suponga que \( x_0 \) \( \in{\mathbb{R^n}} \)  y que \( 0\leq{r_1}<r_2 \). Demuestre que hay una función \( C^1 \) \( f: \mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}} \), tal que \(  f(x)=0 \)  para \(  r_2\leq{\left\|{x-x_0}\right\|} \);  \(  0<f(x)<1 \) para  \(  r_1<\left\|{x-x_0}\right\|<r_2 \); y  \( f(x)=1 \) para \(  \left\|{x-x_0}\right\|\leq{r_1} \).  (Ayuda: Aplique un polinomio de tercer grado con \(  g(r_1^2)=1  \)  y   \( g(r_2^2)=g'(r_2^2)=g'(r_1^2)=0 \)  para \( \left\|{{x-x_0}}\right\|^2 \)  cuando \( r_1<\left\|{x-x_0}\right\|<r_2 \)). El enunciado estaba en

inglés, si es necesario lo escribo tal cual.



Muchísimas gracias.

4
Hola, ¿cómo están?

Necesito por favor que me ayuden a comprender un paso de  la demostración del teorema especial de la función implícita. (caso F  :\(   \mathbb{R^3} \rightarrow{\mathbb{R}} \)).

Suponga que la función F tiene derivadas parciales continuas. Designando a los puntos de \(  \mathbb{R^3}  \) ´por \(  (\vec{x},z)  \) , donde \(  \vec{x}\in{\mathbb{R^2}}  \)   y  \( z\in{\mathbb{R}}  \) y además sea  \( (\vec{x_0}, z_0) \) que satisface  \(  F(\vec{x_0},z_0)=0  \) y   \(  \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x_0},z_o)\neq{0}  \).

La demostracion se inicia suponiendo que  \( \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(x_0,y_0,z_o) >0  \) . Por continuidad se tienen números \( a>0 , b >0 \), tales que \( \left\|{x-x_0}\right\|<a \) y \( \left |{z-z_0}\right |<a \), entonces \(  \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x},z)>b  \).
Además las otras derivadas parciales están acotadas por un número \( M  \) en la región, deducción directa de continuidad:  \( \left |{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}(\vec{x},z)\right |\leq{M}  \),   \( \left |{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}(\vec{x},z)\right |\leq{M}  \),

escribimos \(  F(\vec{x},z)=F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0},z)+F(\vec{x_0},z)-F(\vec{x_0},z_0) \) . Finalmente si usamos la función  \( h(t)=F(t\vec{x}+(1-t)\vec{x_0},z)  \), por el teorema del valor medio tenemos que  \( \theta  \) satisface:

\(  F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0,z})=[D_xF({\theta}_x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \), éste es el paso que no entiendo.

Muchísimas gracias.

5
Hola,

          Sean f y g dos funciones differenciables en un punto \(  x_0  \), en donde las funciones \(  f,g \) están definidas en \(  U\subset{\mathbb{R}^n}\rightarrow{\mathbb{R}}  \).

Para que este límite \( \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\displaystyle\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-(g(x_0)D(f)(x_0)-f(x_0)D(g)(x_0))}{\left\|{x-x_0}\right\|}}  \) sea cero,

Es necesario que el siguiente límite
 \(  \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{(f(\vec{x})-f(\vec{x_0}))[\displaystyle\frac{Dg(\vec{x_0})*(\vec{x}-\vec{x_0})}{\left\|{\vec{x}-\vec{x_0}}\right\|}}=0  \) ¿Cómo puedo probar que  éste último límite se cumple?

Muchísimas gracias.

6
Cálculo de Varias Variables / Función de Holder
« en: 17 Enero, 2021, 11:42 am »
Hola a todos:

Tengo un ejercicio de cálculo en varias variables que aparece en el libro de cálculo vectorial de Marsden Tromba Sección 2.3, en donde ya comprendo que la función vectorial f, es localmente continua, pero me falta demostrar que \(  f(\vec{y})  \) es constante en y, vale decir \(  f(\vec{y})= (c_1,c_2,....,c_m) \) para todo y que pertenece a A.

1) ¿Se debe usar necesariamente la siguiente propiedad para demostrar 2)?: \(  f: A \subset{\mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R^m}}} \) que satisface \(  \left\|{f(\vec{x})-f(\vec{y})}\right\|\leq{K}\left\|{\vec{x}-\vec{y}}\right\|^\alpha \)     \(  \vec{x} \) e  \( \vec{y} \) en A y constantes K positiva y \( \alpha>1 \).

2)¿Cómo demuestro que \( f(\vec{y}) \) es constante \(  \forall{\vec{y}}\in{A} \)?



Muchas gracias.

7
Cálculo de Varias Variables / Derivadas parciales continuas
« en: 02 Enero, 2021, 04:45 pm »
Hola, y muchas felicidades en este año.

       Tengo que probar un teorema, el cual no entiendo cómo concluirlo.

       
Un criterio suficiente para diferenciabilidad: Asuma que \( \frac{{\partial f_{i}}}{{\partial x_j}} \) está definida en un entorno de \(  \vec{a}=(a_1,a_2,.....,a_n)  \)
y son continuas en \(  \vec{a}  \). Entonces \(  f=(f_1,f_2,....,f_m)   \) es diferenciable en    \(  \vec{a}  \)


Demostración:     Sólo es necesario probar el caso \(  m=1  \), pues para otro \(  m\neq1  \) las derivadas parciales son continuas.
Por el  teorema del valor medio:  \(  f(\vec{x})-f(\vec{a})= f(x_1,x_2,.....,x_n)- f(a_1,x_2,.....,x_n)+ f(a_1,x_2,.....,x_n)- f(a_1,a_2,.....,x_n)+....+f(a_1,a_2,....,a_{n-1},x_n)-f(a_1,a_2,.....,a_n)  \)   \(  =
  \)                                                                                           
                                                                                           \(  \frac{{\partial f((\omega_1,x_2,.....,x_n)}}{{\partial x_1}}(x_1-a_1)  \) + \(  \frac{{\partial f}(a_1,\omega_2,x_3,     ,x_n)}{{\partial x_2}}(x_2-a_2) ,+.....+\frac{{\partial f}(a_1,a_2,....,a_{n-1},\omega_{n})}{{\partial x_n}}(x_n-a_n) \)
 donde \(  \omega_i \) esta entre \(  x_i \) y \(  a_i \). Sea ahora \(  \hat{\omega_i} \  \)   =   \(   (a_1,a_2,....,a_{i-1},\omega_{i},x_{i+1},......,x_n)   \)

 Entonces   \(  \left |{f(\vec{x})-f(\vec{a})}-\displaystyle\sum_{i=1}^n{\frac{{\partial f}(a)(x_i-a_i)}{{\partial x_i}}}\right |     \)

Hasta ahí entiendo, pero no puedo concluir y encontrar el \( \epsilon-\delta \)

Gracias.

8
Hola, ¿podrían ayudarme con lo siguiente por favor?

Suponga que \(  \vec{x}  \)  e   \(  \vec{y}  \)   están en  \(   \mathbb{R^n}   \)  con  \(   \vec{x}\neq\vec{y}   \).

Demuestre que existe una función continua con  \(  f: \mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}}  \)  con  \(  f(\vec{x})=1  \)   \(  f(\vec{y})=0  \)

y   \(  0\leq{f(\vec{z})\leq{1}}  \)    \(  \forall{z}\in{\mathbb{R^n}}  \).


Bueno, sé que una función podría ser  \(  f(\vec{z})=\displaystyle\frac{\left\|{\vec{z}-\vec{y}}\right\|}{\left\|{\vec{x}-\vec{y}}\right\|}  \),  pero presenta el problema que si  \(  \vec{z}  \) es arbitrariamente grande,  \(  \left\|{\vec{z}-\vec{y}}\right\|  \)   también seré arbitrariamente grande.

Si me pudieran dar una ayuda con una demostración \(  \epsilon-\delta  \), se los agradecería.


Gracias

9
Cálculo de Varias Variables / Límite en 3 dimensiones.
« en: 17 Diciembre, 2020, 10:52 pm »
Hola, ¿podrían ayudarme a demostrar el siguiente límite, por favor?

 \(  \displaystyle\lim_{(x,y,z) \to{(0,0,0)}}{\displaystyle\frac{xyz}{x^2+y^2+z^2}}=0     \) por el método \(  \epsilon-\delta  \)

Gracias.

10
Cálculo de Varias Variables / Conjunto abierto.
« en: 15 Diciembre, 2020, 11:09 pm »
Hola, ¿podrían ayudarme por favor con lo siguiente?                     \(      \)

Sea  \(  A\subset{\mathbb{R^2}}    \)  un disco abierto unitario:  \(  D_1(0,0)    \) con  \(  \vec{X_0}=(1,0)    \) incluído, y sea \(   f: A\longrightarrow{\mathbb{R}}   \) con \(   f(\vec{X})=1    \). Demuestre que  \(   \displaystyle\lim_{\vec{X} \to \vec{X_0}}{f(\vec{X})}=1   \).

Sé que hay que demostrar que: dado  \(   \epsilon>0   \) necesito encontrar un  \(   \delta>0   \), tal que si  \(  0<\left\|{\vec{X}-\vec{X_0}}\right\| <\delta   \), entonces \( \left |{f(\vec{X})-1}\right |<\epsilon \), y que \( \vec{X}=(X,Y)\in({A\cap{D_{\delta}(1,0)}})     \)


Gracias


11
Cálculo de Varias Variables / Seno de xy sobre xy
« en: 04 Diciembre, 2020, 01:40 am »
Hola:

Sea \(  f(x,y)=g(xy)=\displaystyle\frac{sen(xy)}{xy}  \)

¿Cual de las siguientes definiciones de límite son verdaderas para \(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\displaystyle\frac{sen(xy)}{xy}}=1  \) ? ¿y por qué?

\(  \forall{\epsilon_1}  \)  \(  \exists{\delta_1}  \) tal que \(  0<\left\|{(x,y)-(0,0)}\right\|<\delta_1 \) implica \(  \left |{\displaystyle\frac{sen(xy)}{xy}-1}\right |<\epsilon_1  \)      ó     

\(  \forall{\epsilon_2}  \)  \(  \exists{\delta_2}  \) tal que \(  0<\left |{xy-0}\right |<\delta_2 \) implica \(  \left |{\displaystyle\frac{sen(xy)}{xy}-1}\right |<\epsilon_2  \)

Gracias.

12
Cálculo de Varias Variables / Negación de Límite
« en: 21 Noviembre, 2020, 01:42 pm »
Hola:

Más que nada estoy confundido con la definición de límite y la negación de límite en funciones \(  \mathbb{R^2} \rightarrow{\mathbb{R}}  \)

Negación de la existecia de límite:     \(       \)

\(   \forall{L}:   \)    \(   \exists{\epsilon}>0   \)  tal que     \(    \forall{\delta }>0   \) existen  \(   (x,y)    \) tal que   \(  0 < \left\|{(x,y)-(x_0,y_0)}\right\|<\delta \)  pero no \(   \left |{F(x,y)-L}\right |<\epsilon    \).


Sea \(   F(x,y)= \displaystyle\frac{xy^3}{x^2+y^6}    \)   \(   (x,y)\neq (0,0)   \)  ;  \(   0    \)  si   \(   (x,y)=(0,0)    \)

¿  Cómo se aplica esta definición a \(   F(x,y)    \)  cuando se aproxima a  \(  (0,0)     \)  por \(   x=0   \)  ?

Gracias.

13
Hola:

Tengo el siguiente problema que dice así:

Sea \(  f(x,y)=\displaystyle\frac{xy^3}{x^2+y^6}   \)  si  \(  (x,y)\neq(0,0)   \)
                       \(                 0                                       \)          si        \(  (x,y)=(0,0)            \)       Los problemas a) y b) se como resolverlos pero los necesito para c)

a)Calcule el límite cuando \(  (x,y) \rightarrow{(0,0)}   \)  de  la función a través del camino \(  x=0  \).

reemplazando \(  x=0  \)  en la función \(   f(x,y)= 0/y^6 =0  \)  por lo tanto \(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{0}=0  \)

b)  Calcule el límite cuando \(  (x,y) \rightarrow{(0,0)}   \)  de  la función a través del camino \(  x=y^3  \)

reemplazando \(  x=y^3  \)  en la función  \(  f(x,y) = \displaystyle\frac{y^3y^3}{y^6+y^6}=1/2  \) por lo tanto \(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{f(x,y)}=1/2  \)

Con a) y b) queda demostrado que por distintos caminos la función no es continua.

c)Demuestre que la función no es continua en \(  (0,0)  \) en términos de \(  (\epsilon,\delta)  \)


Sé que se asume que \(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{f(x,y)}=f(0,0)=0 \) es decir continuidad, y se debe llegar a una

contradicción usando los valores finales de a) y b). Pero no sé como elaborar la demostración.


Gracias

14
Cálculo de Varias Variables / Conjuntos abiertos.
« en: 16 Octubre, 2020, 06:27 pm »
Hola,

Tengo una duda en una parte de la demostración del siguiente teorema :

Para todo \( { x_0\in{R^n}} \) y \(  r>0  \),   \(  D_r(x_0)  \)  es un conjunto abierto.


Demostración:    Sea \(  x\in{D_r(x_0)}  \) o  \(  \left\|{x-x_0}\right\|<r  \). Debido a la definición de conjunto abierto, debemos encontrar un \(  s>0  \) tal que \(  D_s(x)\subset{D_r(x_0)}  \), entonces tomando una elección razonable  se puede ver que \(  s=r-\left\|{x-x_0}\right\|  \) ¿Por qué? esta última ecuación no puedo lograr demostrarla.  Bueno, el párrafo termina así: note que \(  s>0  \), pero  \(  s  \) se vuelve más pequeña si \(  x  \) está cada vez más cerca del límite de \(  D_r(x_0)  \) .

Gracias.





15
Cálculo de Varias Variables / Puntos máximos de una función.
« en: 10 Octubre, 2020, 06:33 pm »
Hola:

Tengo  el siguiente enunciado que dice:  Demuestre que la función \(  z=(x^2+3y^2)*exp(1-x^2-y^2)  \) contiene en la curva de nivel \(  z=3  \), solamente 2 puntos. Es decir en \(  z=3  \) la curva de nivel consiste en solamente 2 puntos.

La parte de los máximos  de la función , por ejemplo: \(  y=1  \) es un máx local en el plano \(  x=0  \)     y      \(  x=0  \) es un máx local en el plano  \(  y=1  \), la entiendo.

Lo que no comprendo es que el autor señala lo siguiente: Considere los círculos de valores constantes en el plano \(  xy  \)

 \(  x^2+y^2=k  \), por lo tanto  \(  z=(k+2y^2)exp(1-k)  \)     ó     \(  z=k'+k''y^2  \)

1) ¿Cómo se consigue  \(  k'  \) o cuál es la variable independiente a la que se deriva  \(  k  \)?
2) ¿Por que \(  z  \) depende sólo de \(  y^2  \) como una parabola?


Muchas gracias

Saludos

16
Cálculo de Varias Variables / Conjuntos de nivel
« en: 12 Septiembre, 2020, 02:14 pm »
Hola:

Mi pregunta es la siguiente:

Describa el gráfico de la función   \(  t=f(x,y,z)=xy+yz  \), encontrando algunos conjuntos de nivel y secciones.

Gracias

17
Cálculo de Varias Variables / Superficies de nivel y secciones
« en: 26 Agosto, 2020, 08:09 pm »
Hola, buenas tardes:

Les escribo por que me gustaría que me ayuden con el siguiente ejercicio.
Describa el gráfico de \(   t=f(x,y,z)=xy  \) haciéndolo con unas superficies de nivel y secciones.

Bueno, lo que hice es lo siguiente:

si C<0,  \(   xy=c   \vee    y=c/x \), entonces  Caso 1) \(   x>0  \wedge  y<0  \)   \(  \vee  \)    \(  x<0  \wedge  y>0  \)    es decir las superficies de nivel estan en el segundo y cuarto cuadrante. Son hipérbolas y=c/x paralelas eje z que recorren todos los valores de \(  z.  \) 


Si C>0 ,    entonces Caso 2) \(  x>0 \wedge  y>0  \)   \(  \vee  \)    \( x<0  \wedge    y<0  \)  ocurre lo mismo, pero en el primer y tercer cuadrante.


Si C=0   Caso 3):  \(  xy=0  \) ,  \( x=0  \wedge  y\neq0    \)   \( \vee   \)   \( x\neq0  \wedge  y=0   \) , o ambos \(   x=0 \wedge y=0 \). Las superficies de nivel son los planos verticales que pasan por el eje \(  x  \) si  \(  y=0  \), y eje  \(   y   \)  si  \( x=0 \). Si ambos son  \(  0  \), la superficie de nivel es el eje  \(  z  \).

Para las secciones por ejemplo supongamos que \(  x=b  \) constante.

 \(  x=b  \),  \(  t(y,z)=by  \) que es un plano que intersecta al plano coordenado  \(  (y,z)  \)  en \(  y=0  \) con pendiente \(  b  \). En el espacio  \(  zyt  \)

Para el caso \(  z=a  \),   \(  t(x,y)=xy  \) es lo mismo analizado en los \(  3  \) casos, solo que ahora la variable dependiente es \(  t  \) en vez de \(  z  \).

Si me pudieran ayudar se los agradecerias ya que no estoy del todo seguro de lo desarrollado

Muchisimas gracias.


18
Buenas tardes: Por favor, podrían ayudarme con el siguiente problema de Cálculo 3, estoy en la parte previa a estudiar límites y derivadas.


 Analice la sección del gráfico definida por el plano \(  {S_{\theta}=[(x,y,z)| y=x*tan{\theta}}]  \) ,  para un \(  {\theta}  \) dado.  La función es \(  z=x^2+y^2  \). Haga esto expresando \(  z  \) como funcion de \(  r  \), donde  \(  x=r*cos(\theta)  \) e \(  y= r*sin(\theta)  \). Diga si esta funcion tiene la propiedad que al intersectar \(  {S_{\theta}} \)  con \(  z  \) las cuvas producidas tienen la misma forma independiente de \(  {\theta}  \).

Bueno lo que hice es \(  z= r^2* ({cos({\theta})})^2 + r^2 * ({sin({\theta})})^2=r^2  \), es decir, depende sólo de r. Mi duda es que sucede con el plano \(  S_{\pm{{\pi}/2}}  \), todo los demás ángulos del plano S interceptados con z tienen la misma forma, pero no  comprendo si en los valores dichos, la forma de la intersección es igual a las demás.

Muchísimas Gracias.

19
Cálculo de Varias Variables / Coordenadas Cilíndricas.
« en: 17 Enero, 2020, 08:09 pm »
Hola,

Tengo un problema que dice lo siguiente:

Describa el significado geométrico de los siguientes mapeos en coordenadas cilíndricas.

a) \( (r,\theta,z)\rightarrow{(r,\theta,-z)} \)
b) \( (r,\theta,z)\rightarrow{(r,\theta+\pi,-z)} \)
c) \( (r,\theta,z)\rightarrow{(-r,\theta-\pi/4,z)} \)

La verdad es que las respuestas me dejan algunas dudas. Ellas son:

a) Reflejo con respecto al plano \( xy \).
b) Rotación en contra de las manecillas del reloj de \( 180° \), con respecto al eje \( z \). Con reflejo sobre el plano \( xy \).
c) Reflejo con respecto al eje \( z \) con rotación en el sentido de las manecilas del reloj de \( 45° \) alrededor del eje \( z \).


Usé la palabra reflection como reflejo, pues las soluciones estaban en inglés.

Por favor, a ver si me pueden ayudar.

Gracias

20
Hola: Hace un tiempo que estaba fuera del foro, y necesito ayuda de Uds. sobre intersección de planos.

Encontrar la intersección de los planos:  \begin{array}{c} x+y+z=1 \\-x+y-z=-1 \end{array}


y de los planos \begin{array}{c} 3x+2y+z=2 \\x+4y-z=2 \end{array}


En el primer caso ¿es correcto tomar un punto a ambos planos, por ejemplo \( \mathbf{x}=(0,0,1) \), los vectores normales a ambos planos \( \mathbf{n_1}=(1,1,1) \), y \( \mathbf{n_2}=(-1,1,-1) \) y encontrar la recta \( (0,0,1)+t(\mathbf{n_1}\times{\mathbf{n_2}}) \)?

El resultado me dá \( (-2t,0,1+2t) \) y en el segundo caso me da \( (1-6t,4t,-1+10t) \), pero en el primer caso se puede dar la respuesta \( (1-t,0,t) \), es natural que se dé?


Muchas gracias


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