Por otro lado en cuanto al comentario de el_manco (el cual entendí después de repasar bastante), me gustaría decir que a pesar de que es bastante útil el saber que el número de cifras que contiene el período (k), es divisor de \( \varphi(b_1) \), eso todavía no me permite calcular el período de forma precisa dada la división de dos enteros.
Yo creo que cualquier algoritmo que me permita calcular dicho período sin necesidad de realizar la división, necesariamente debe incluir el numerador de la fracción y en el estudio de el_manco nunca se hace mención del mismo. Por eso insisto con la pregunta inicial ¿Existe tal algoritmo? O es imposible calcular dicho período de manera directa.
Le he estado dando vueltas al asunto y (siguiendo la simbología usada por el_manco) creo que dada una fracción \( \displaystyle\frac{a}{b} \) el problema radica en estudiar la fracción \( \displaystyle\frac{1}{b_1} \) con \( b=2^d5^fb_1 \), debido a que al conocer el período de esta fracción, facilmente mediante propiedades se puede deducir el resto de los períodos. He estado haciendo varias conjeturas relacionadas con el período (basándome en la exposición de el_manco), estas son:
1. El número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{a}{b} \) es igual al número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{b-a}{b} \)
2. El número máximo de cifras del período que se puede obtener con un denominador b, es igual al número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{1}{b} \)
3. Si n es coprimo de \( b_1 \), el número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{n}{b_1} \) es igual al número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{1}{b_1} \)
Espero seguir trabajando en este hilo hasta encontrar dicho algoritmo, o demostrar su inexistencia, aunque como entenderán abandonaré este hilo de discusión por un buen tiempo hasta reportar avances, o quizas lo más recomendado sea abrir otro tema para estudiar esto, puesto que dicho estudio se sale del título inicial de este hilo.
Además, producto de este problema he desarrollado un nuevo algoritmo para calcular la división de dos enteros, el cual pretendo presentar en otro hilo, apenas lo tenga bien definido, el algoritmo se basa en el hecho de que al realizar la multiplicación de un número con período con su denominador, el resultado es de la forma #,99999999....., es decir, al tomar el número 0,3333333333...... y multiplicarlo por 3, el resultado es 0,999999999..... Este hecho se puede generalizar para cualquier fracción, tal que \( \displaystyle\frac{a}{b}.b \)=#,99999999..... (usando el algoritmo de la multiplicación, donde la división a sobre b, da como resultado un decimal con período)
Saludos.