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Topología de los espacios métricos.

Hasta ahora en los espacios vectoriales normados nos hemos servido de la operación de resta y el funcional norma, para construir una noción de distancia entre puntos del espacio.
Es posible abstraerse aún más, y considerar una estructura en la que ni siquiera hagan falta operaciones algebraicas, y tan solo se hable una función distancia que satisfaga la desigualdad triangular.
Esto da lugar a la teoría de espacios métricos.
Su estudio responde a la pregunta siguiente: ¿qué tanto se puede demostrar o saber de la geometría de un conjunto dado, si sólo se utiliza la desigualdad triangular de la distancia?

Un par \( (X,d) \) se llama espacio métrico si \( X \) es un conjunto, y \( d \) es una función de dos variables de \( X \), cuya imagen son valores reales, en símbolos \( d:X\times X\to\mathbb{R} \), tal que para cualesquiera \( x,y,z\in X \) se cumplen estas propiedades:

• No negatividad: \( d(x,y) \geq 0 \)
• Separación \( d(x,x)=0 \), y además \( d(x,y)=0 \) implica que \( x=y \).
• Simetría: \( d(x,y)=d(y,x) \)
• Desigualdad triangular: \( d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) \).
  

A una función \( d \) que cumple esas propiedades se le llama métrica o distancia en \( X \).

En un espacio vectorial normado tenemos una distancia definida a partir de la norma, así:

\( d(x,y)=|x-y|. \)

Pero en general la estructura de espacio vectorial normado no se necesita para que haya una noción de métrica en un conjunto.
Más tarde veremos varios ejemplos.


Durante el curso de topología estudiaremos en profundidad los espacios métricos, y en particular nos preguntaremos cuándo un espacio topológico puede describirse a través de una métrica (teoremas de metrización).

Las mismas demostraciones hechas en los posts anteriores valen aquí.
Lo que difiere es la generalidad de los espacios métricos, cuya naturaleza puede ser enormemente distinta a la un espacio vectorial normado.
También, en todo lugar que aparezca una expresión de la forma \( |x-y| \) bastará que la reemplacemos por una de la forma \( d(x,y) \).
Aún así, voy a repetir los cálculos, pero con la notación cambiada, para tomar familiaridad.

En lo que sigue, \( (X,d) \) es un espacio métrico.
En este contexto tan general, aún es posible hablar de bolas abiertas y cerradas, apoyándonos en la función distancia.

Definición. Sea \(  x\in X \), y sea \( \displaystyle r>0 \).
Se define la bola abierta con centro \( x \) y radio \( \displaystyle r \) al conjunto:

\( \begin{align*}\displaystyle
  B_r(  x) := \{  y\in X:d(x,y) < r\}.
\end{align*} \)

Se define la bola cerrada con centro \(  x \) y radio \( r \) como el conjunto

\( \displaystyle  \bar{  B}_r( x) := \{y\in X:d(x,y)\leq  r\}. \)

Nótese que estamos llamando a las bolas abierta y cerrada, aún antes de demostrar que son conjuntos abiertos o cerrados en alguna topología de \( V \).

El aspecto de las bolas en un espacio métrico general puede que no sea algo "redondo", tal como uno está acostumbrado. Así que hay que tener la mente abierta a situaciones bastante peculiares desde el punto de vista de nuestra intuición geométrica corriente.

Tal como hicimos para los espacios vectoriales normados, formaremos una familia \( \displaystyle \tau  \)  de subconjuntos de \( \displaystyle X \) de la siguiente manera:

Diremos que un conjunto \( \displaystyle A\subset X \) es un elemento de \( \displaystyle \tau  \) si, y sólo si, el conjunto \( \displaystyle A \) es el vacío o bien puede escribirse como la unión de alguna familia de bolas abiertas de \( X \). En símbolos:

\( \begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset X| A=\emptyset\textsf{\ ó \ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}: A = \bigcup_{\iota\in I} N_\iota
     \textsf{\ y\ }   \forall{\iota\in I}
    \big[\exists{}{ x\in X,r>0}: N_\iota = B_r( x)
              \big]
 \Big\}
\end{align*} \)

Veamos algunos ejemplos de elementos que están en la familia \( \displaystyle \tau  \).

Como la unión de una bola abierta \( \displaystyle B_r(x) \) consigo misma es trivialmente una unión de bolas abiertas, se deduce enseguida que toda bola abierta es un elemento de \( \displaystyle \tau  \).
También, uniones finitas o infinitas de cualesquiera bolas abiertas están en \( \displaystyle \tau  \).
Y más aún, todos los elementos no vaciós de \( \displaystyle \tau  \) son de esta forma...


Ahora debemos probar que la familia \( \displaystyle \tau \) es una topología para el espacio métrico \( X \).
La demostración es la misma que la del caso vectorial normado.
¿Qué cambia? Sólo terminología y notación.
En todo lugar que diga \( V \) lo reemplazamos por X, y en vez de la norma ponemos la distancia.

Así que vamos a repetir por cuarta vez las pruebas hechas antes.

Proposición. La familia \( \displaystyle \tau  \) es una topología sobre \( X \).

Demostración. De nuevo, basta comprobar los 4 axiomas de topología.

Comprobación del Axioma 1 (abrir desplegable para ver detalles)

Por mera definición de \( \tau \), tenemos \( \emptyset\in \tau \).

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Comprobación del Axioma 2 (abrir desplegable para ver detalles)

Debemos demostrar que el conjunto total \( X\in\tau \).

La familia de todas las bolas abiertas de \( X \) se puede denotar así:

\( \displaystyle \{B_{r}(x)\}_{(x,r)\in X\times \mathbb R^+}. \)

Definamos:

\( \displaystyle U:=\bigcup_{( x,r)\in X\times \mathbb R^+} B_r( x). \)

Tenemos que probar \( \displaystyle X=U \).
Sea \(  x\in X \). Tenemos:

\( \displaystyle\forall{r>0}:( B_r(x)\subset U) \)

Tenemos que \( x\in U \) pues \( d(x,x)=0 < r \) implica \( x\in\displaystyle B_r( x)\subset U \).
Como \( x \) es arbitrario, tenemos \( X\subset U \).
La recíproca \( U\subset X \) es trivial, luego \( X=U \).

Así, \( X \) se ha escrito como unión de bolas abiertas, y así \( X\in\tau \).

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Comprobación del Axioma 3 (abrir desplegable para ver detalles)

La prueba es absolutamente idéntica a la que aparece en el post anterior.
Esta vez no la repetiremos. 

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Comprobación del Axioma 4 (abrir desplegable para ver detalles)

Lema: Sean \( B_r(x), B_s(y) \) dos bolas abiertas en \( X \). Su intersección \( E=B_r(x)\cap B_s(y \)) está en \( \tau \).

Demostración:
Sea \(  z\in E \). Como \(  z \in B_r(x)\cap B_s(y) \), se tiene: \( d(z,x)< r,d(z,y)< s. \)

En particular, \( \displaystyle r-d(z,x) \) y \( \displaystyle s-d(z,y) \) son positivos.
Ahora definamos el número positivo

\( \xi_{ z} = \min\big\{r-d(z,x),s-d(z,y)\big\}. \)

Vamos a demostrar \( \displaystyle B_{\xi _{  z}}(  z)\subset E \).
En efecto, sea \(  p\in B_{\xi _{z}}(z) \). Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos:

\( \begin{align*}\displaystyle
d(p,x)&\leq d(p,z)+d(z,x) < \xi_z + d(z,x) \leq r\\
d(p,y)&\leq d(p,z)+d(z,y) < \xi_z + d(z,y) \leq s.
\end{align*} \)

Por lo tanto \( p\in B_r(x)\cap B_s(y)=E \).
Como \( p \) es arbitrario: \( \displaystyle B_{\xi _{ z}}(  z)\subset E \).
Como esto vale para todo \(  z\in E \), se tiene:

\( \displaystyle \bigcup_{  z\in E}B_{\xi _{ z}}(  z)\subset E. \)

La inclusión recíproca es trivial, y así concluimos que \( \displaystyle E=\bigcup_{z\in E}B_{\xi _{z}}( z) \), pero entonces \( \displaystyle E \) es unión de bolas abiertas.

Esto prueba el Lema.


Ahora pasamos a la comprobación del Axioma 4.

La prueba es absolutamente idéntica a como está en el post anterior... así que esta vez ya no la repetiremos. 

[cerrar]

Ahora que hemos probado que \( \displaystyle \tau  \) es una topología,
podemos hablar de sus elementos como los conjuntos abiertos de la topología correspondiente.

Demos también el criterio para detectar conjuntos abiertos en un espacio métrico.

Criterio. Un conjunto \(  A\subset X \) es abierto si, y sólo si, para cada \(  y\in A \) existe \( \displaystyle r_{ y}>0 \) tal que \( \displaystyle B_{r_{ y}}(  y)\subset A \).
Es decir, hay al menos una bola abierta centrada en \( y \) completamente contenida en \( \displaystyle A \).

Demostración (abrir desplegable)

Como \( \displaystyle A \) es abierto, existe una familia de bolas abiertas \( \{B_{r_\iota}(x_\iota)\}_{\iota_\in I} \) tal que

\( \displaystyle A=\bigcup_{\iota \in I}B_{r_\iota }(  x_\iota ). \)

Sea \(  y\in A \). Existe \( \iota \in I \) tal que \(  y\in B_{r_\iota }(  x_\iota ) \).
Así, ambos números \( 0<r_\iota -d( y, x_\iota)<r_\iota  \). Definamos

\( \displaystyle s=r_\iota-d( y,x_\iota).  \)

Afirmamos que \( B_s(  y)\subset A \).
En efecto, si \(   z\in B_s(  y) \), entonces \( d(z,y)< s \), y aplicando desigualdad triangular:

\( d( z, x_\iota)\leq d(z,y)+d(y, x_\iota)<s+ d(y, x_\iota) =r_\iota . \)

Luego \(   z\in B_{r_\iota }( x_\iota ) \).
Se sigue que \(  B_s( y)\subset B_{r_\iota }( x_\iota )\subset A  \).


Recíprocamente, sea \( A \) tal que:

\( A\in\Big\{C:\forall{ y\in C}\big(\exists{r_{ y}>0}: B_{r_  y}( y)\subset C\,\big)\Big\}. \)

Claramente

\( \displaystyle\bigcup_{ y\in A}B_{r_  y}(  y) \subset A. \)

La inclusión recíproca se prueba de modo trivial. Luego:

\( \displaystyle\bigcup_{  y\in A}B_{r_{  y}}(  y) = A. \)

Esto prueba que \( A \) es abierto.

[cerrar]

Como siempre, se puede demostrar que una bola abierta es un abierto en la topología \( \tau \).
Y también una bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología \( \tau \).


(Aquí se agregarán ejemplos de diversos espacios métricos)


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Topología del orden.

Volvamos un poco a los números reales, y tengamos presente su representación en una recta coordenada.

Si un punto/número real \( x \) es menor que otro punto/número real \( y \), entonces está a la izquierda en la recta coordenada, según el sentido que solemos usar para representar los números gráficamente.

Para indicar esa relación, se escribe que \( x<y \).

Si nos fijamos un poco, la topología \( \tau \) sobre la recta real terminó siendo la familia de todos aquellos conjuntos que pueden escribirse como uniones de bolas unidimensionales abiertas centrados en algún punto \( x_0 \), lo cual viene a ser intervalos abiertos de la forma \( (x_0-r,x_0+r) \), para todo centro \( x_0 \) en la recta, y todo radio \( r>0 \).


Definamos "otra" topología en la recta real, que indicaremos con \( \tau^< \), como la familia de todos aquellos subconjuntos de la recta que pueden obtenerse como uniones de intervalos abiertos cualesquiera.

O sea, un conjunto \( A \) está en \( \tau^< \) si puede escribirse como:

\( \displaystyle A=\bigcup_{\iota\in I}(a_\iota,b_\iota), \)

para ciertas familias de números \( \{a_\iota\}_{\iota\in I} \), \( \{b_\iota\}_{\iota\in I} \).
Aquí, \( (a_\iota,b_\iota) \) denota el intervalo \( \{x|a_\iota<x<b_\iota\} \).

Se llama a \( \tau^< \) la topología del orden para la recta real, porque se construye en base a la relación de orden de los números reales, y no se utiliza nada más, vale decir, no se usa la estructura algebraica subyacente, sino sólo el orden.


Se puede demostrar que las dos familias de conjuntos \( \tau \) y \( \tau^< \) tienen los mismos elementos.
Esto equivale a decir que las dos topologías son iguales.

La demostración es muy fácil:

• Toda "bola" abierta unidimensional \( B_r(x) \) es en realidad un intervalo abierto \( (x-r,x+r) \).
  Luego, todo elemento de \( \tau \) es trivialmente una unión de intervalos abiertos.
  Así que \( \tau\subset \tau^< \).
  
• A su vez, todo intervalo abierto \( (a,b) \) se puede escribir como una bola abierta unidimensional \( B(x,r) \) con centro y radio adecuados.
  Basta hacer \( x=(a+b)/2 \) (el promedio de los extremos), y \( r=(b-a)/2 \) (la semidistancia entre los extremos).
  Con esto, todo elemento de \( \tau^< \) puede escribirse como unión de bolas unidimensionales abiertas.
  

¿Cuál es la gracia de decir lo mismo de dos formas distintas?

Bueno, en la recta real no hay diferencia. Pero hay contextos donde sólo se tiene un orden y no hay ninguna estructura de espacio vectorial normado ni siquiera de espacio métrico.

O sea que ahora estamos haciendo una abstracción en una dirección diferente a la que veníamos efectuando hasta el momento. Específicamente: en el sentido de usar el orden como fundamento para una topología.

En cualquier conjunto \( X \) que haya un orden \( \prec \) con propiedades como el de los números reales, o sea, un orden lineal estricto (confrontar resumen de la sección 3 en los posts anteriores), es posible definir una topología del orden.

Basta definir una noción de intervalo abierto en \( X \) (de nuevo confrontar resumen de sección 3) mediante \( (a,b)=\{x\in X|a\prec x\prec b\} \).

A lo largo del curso veremos muchos ejemplos, pero ahora sólo pondré en escena los más obvios:

\(  \bullet \) Cada sistema de números \( \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R} \) tiene su relación de orden \( < \) que funciona como ya seguramente estamos acostumbrados...

\(  \bullet \) Orden heredado: En todo conjunto \( X \) con una relación de orden \( \prec \) en él, hereda el orden a sus subconjuntos. O sea, si \( Y\subset X \), entonces \( Y \) tiene un orden que proviene de restringir a dicho conjunto el orden que teníamos en el conjunto mayor \( X \).

\(  \bullet \) Si \( D \) es el conjunto de todas las palabras de un diccionario, es claro el orden que existe entre dichas palabras. Entre las palabras adobe y amianto hay muchas palabras, que forman el intervalo (adobe, amianto).
Este intervalo es abierto, o sea que las palabras delimitantes del mismo, adobe y amianto, no pertenecen al intervalo, sino que están sólo las "intermedias" (afable, agorero, ahora, ajo, alambre, amado, etc.)
Se puede, pues, definir una topología del orden en las palabras del diccionario \( D \), como cualesquiera uniones de esos intervalos abiertos.


Una propiedad topológica interesante que tienen los conjuntos linealmente ordenados es la de conexidad. A grosso modo, digamos por ahora sólo la idea intuitiva de esto:

Si tenemos una lista de varios intervalos abiertos tales que cada uno de ellos tiene puntos en común con al menos alguno de los otros de la lista, entonces la unión de todos los elementos de la lista vuelve a ser un intervalo abierto.

Reflexionemos un poco sobre esto, en los ejemplos de la recta real, y de las palabras del diccionario.

La sutileza está en que, si bien un elemento de la topología es unión de intervalos abiertos, no quiere decir que dicho elemento sea él mismo un intervalo abierto.
Pero bajo ciertas condiciones, sí que seguimos obteniendo intervalos en vez de conjuntos "desparramados" cualesquiera.


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Otros ejemplos clásicos de Topologías.

¿Se puede definir una topología en un conjunto cualquiera, sin exigirle estructura alguna?
La respuesta es afirmativa, como muestran los dos ejemplos que siguen.

\(  \bullet \) Topología Discreta: Sea \( X \) un conjunto cualquiera. Si \( \mathcal P(X) \) denota la colección de todos los subconjuntos de \( X \), si hacemos \( \tau=\mathcal P(X) \) obtenemos una topología sobre \( X \).

La demostración es muy fácil, porque: la unión de cualesquiera elementos de \( \tau \) es un subconjunto de \( X \), que por lo tanto también pertenece a \( \tau \).
La intersección de un par de elementos de \( \tau \) es un subconjunto de \( X \), que de nuevo será un elemento de \( \tau \).
Y además \( \emptyset \) y el mismo \( X \) están en \( \tau \).

\(  \bullet \) Topología Indiscreta: Sea \( X \) un conjunto cualquiera. Haciendo \( \tau=\{\emptyset,X\} \) obtenemos una topología sobre \( X \).

La demostración es trivial, porque toda unión o intersección de elementos de \( \tau \) da, o bien \( \emptyset \) o bien \( X \), que son elementos de \( \tau \).

Estos ejemplos están siempre disponibles, sin necesidad de pedir que sobre \( X \) haya alguna estructura de espacio vectorial normado, o de espacio métrico, o una relación de orden (lineal estricto), ni ninguna de las otras posibilidades que estudiaremos más adelante.

Sin embargo, se trata de casos que sirven, en realidad, para dar ejemplos de que ciertas propiedades topológicas interesantes no se cumplen.
Son contraejemplos típicos, que hay que tener en cuenta siempre.


\(  \bullet \) Topología Producto. Supongamos que tenemos ciertas topologías definidas sobre unos conjuntos \( A,B \). ¿Podemos aprovechar esas topologías ya existentes para construir una topología sobre el producto cartesiano \( A\times B \)?

La respuesta es afirmativa, pero no lo vamos a hacer en este momento, sino a lo largo del curso.
Digamos que, incluso, pueden definirse topologías asociadas a productos cartesianos generalizados, incluso con una cantidad infinita de "factores".


Veremos muchos otros ejemplos exóticos de topologías.
Todos ellos nos enseñarán algo: nos mostrarán el alcance de una lista dada de propiedades, qué tan poco hay que pedir para que una demostración siga siendo válida.

Nombremos a la topología cofinita, la topología cociente, las topologías heredadas (subespacios), uniformidades (son unas ciertas estructuras más generales que los espacios métricos), y un largo etc.
Poco a poco las iremos encontrando y estudiando.



Aquí termina el resumen previo de ejemplos básicos de topologías y de espacios topológicos.
Mi esperanza es que, al echar un vistazo sobre estos ejemplos, pueda quitarles el susto a quienes la topología les da algo de temor.

 



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Capítulo 2. Espacios Topológicos y Funciones Continuas.

Los dos pilares de la topología general son las nociones de espacio topológico y de continuidad de funciones entre dos espacios topológicos, que podrían ser diferentes.
En este capítulo se estudian ambos conceptos.

Es importante tener claro que cuestionar el significado de las definiciones es una tarea permanente que forma parte del aprendizaje de la topología.
Otro ítem fundamental a tener en cuenta es que los ejemplos son los que nutren de experiencia al topólogo.
Así que tenganmos presente y en alta estima estos dos aspectos, y pongamos voluntad para reflexionar sobre los teoremas, y realizar los ejercicios.

También veremos maneras de construir topologías sobre conjuntos dados, y ciertos teoremas que nos permiten demostrar con menos trabajo si cierta familia de conjuntos es o no una topología.

Sección 12. Espacios Topológicos.

Ya hemos visto la definición de topología y de espacio topológico.
No está de más recordarlo.

Sea \( X \) un conjunto dado.

\( \bullet \) Definición. Una topología sobre \( X \) es una familia \( \tau \) de subconjuntos de \( X \) que verifica las siguientes propiedades:

• (1) \( \emptyset,X\in\tau. \)
• (2) La unión de cualquier subcolección de \( \tau \) es un elemento de \( \tau \).
• (3) La intersección de cualquier subfamilia finita elementos de \( \tau \) es un elemento de \( \tau \) (sería lo mismo pedir que la intersección de 2 elementos esté en \( \tau \), y luego aplicar argumentos de inducción).

\( \bullet \) Un espacio topológico es un par \( (X,\tau) \) tal que \( X \) es un conjunto y \( \tau \) es una topología sobre \( X \).

Para las definiciones anteriores, he copiado literalmente al texto de Munkres, para tener armonía con el texto original en el futuro.

Los elementos de \( \tau \) se llaman conjuntos abiertos de la topología dada.
A los complementarios de los conjuntos abiertos se los llama conjuntos cerrados, o sea, \( F \) es cerrado si y sólo si hay un abierto \( U \) tal que \( F=X-U \).

\( \bullet \) Sea \( X \) un conjunto vacío. ¿Cuáles son todas las topologías posibles?

\( \bullet \) Sea \( X \) un conjunto con 1 solo elemento. ¿Cuáles son todas las topologías posibles?

\( \bullet \) Sea \( X \) un conjunto con 2 elementos. ¿Cuáles son todas las topologías posibles?

En Munkres se desarrolla en detalle el siguiente ejemplo. Para quienes no tengan el libro, es un interesante ejercicio  a efectuar, para practicar un poco el concepto abstracto de topología sobre un conjunto \( X \).

\( \bullet \) Ejemplo 1. Sea \( X \) un conjunto con 3 elementos distintos, \( X=\{a,b,c\} \). ¿Cuáles son todas las topologías posibles? Ejercicio: Enumérelas y explíquelas en detalle.

\( \bullet \) Ejemplo 2. Aquí Munkres desarrolla las topologías discreta e indiscreta, de las que algo ya hemos dicho. En todo caso les queda como ejercicio probar que las siguientes familias de conjuntos son topologías:

• Topología discreta. \( \tau=\mathcal P(X) \), la familia de todos los subconjuntos de \( X \).
• Topología indiscreta o trivial. \( \tau=\{\emptyset,X\} \), o sea, la familia que sólo consta de los conjuntos vacío y total. ¿Cuántos elementos tiene esta topología?  (Ahá... a menos que \( X \) sea vacio...  )

\( \bullet \) Ejemplo 3. Topología Cofinita. Dado \( X \), se considera la familia \( \tau \) formada por todos los subconjuntos \( U \) de \( X \) que son vacíos o bien complementarios de conjuntos finitos, o sea tal que \( X-U \) es finito.

Munkres hace la prueba de que esta familia es una topología.
No le veo sentido a que yo repita aquí esa demostración, puesto que además es algo sencillo.
Les dejo como ejercicio demostrar que la familia \( \tau \) del ejemplo 3 es efectivamente una topología.
¡Traten de hacerlo, así no se quedan sin la diversión de hacer las cuentas!
Y de paso podemos comentarlo entre todos, así como pulir las técnicas de demostración.

\( \bullet \) Ejemplo 4. Dado \( X \), se considera la familia \( \tau \) formada por todos los subconjuntos \( U \) de \( X \) que son vacíos o bien complementarios de conjuntos finitos o infinito-numerables.
Queda como ejercicio llevar a cabo la comprobación de que \( \tau \) es una topología.
¡Y compartan detalles en la parte de comentarios! ¡No trabajen solos!   


¿Pueden haber topologías distintas sobre un mismo conjunto (espacio) \( X \)? Sí.
¿Pueden compararse dos diferentes topologías? ¿Cómo?


Por ahora simplemente haremos una comparación de tipo conjuntístico.
Cuando abordemos el estudio de la convergencia, veremos que puede usarse dicha noción para comparar topologías, y quizá sea el modo más interesante de hacerlo, de cara a las aplicaciones topológicas.

\( \bullet \) Sean \( \tau,\tau' \), dos topologías sobre un conjunto \( X \):

• Si \( \tau'\supset\tau \), decimos que \( \tau' \) es más fina que \( \tau \).
  También decimos que \( \tau \) es más gruesa que \( \tau' \).
• Si \( \tau' \varsupsetneqq\tau \), decimos que \( \tau' \) es estrictamente más fina que \( \tau \).
  También decimos que \( \tau \) es estrictamente más gruesa que \( \tau' \).
• Decimos que \( \tau \) es comparable con \( \tau' \) si, o bien \( \tau'\supset\tau \), o bien \( \tau\supset\tau' \).

Ejercicio. ¿Existen ejemplos de topologías \( \tau,\tau' \) sobre un conjunto \( X \) que no sean comparables? Intuitivamente pareciera que sí, pero para estar seguros, debemos mostrar al menos un ejemplo. Sugerimos revisar la lista de topologías del Ejemplo 1, para el conjunto de tres elementos distintos \( X=\{a,b,c\} \), y especificar todos los pares de topologías que son comparables, y cuáles son no comparables.

En otros textos, cuando \( \tau'\supset\tau \), puede que se use la terminología siguiente: \( \tau' \) es más grande que \( \tau \), y \( \tau \) es más pequeña que \( \tau' \).
También puede que aparezcan los términos topología más fuerte y topología más débil, para definir a estos mismos conceptos. El problema es que hay autores que usan el calificativo de "más fuerte" para lo mismo que otros usan el de "más débil" y vicecersa.
Por eso Munkres evita el uso de esa terminología, y nosotros haremos lo mismo.


Esta sección no contiene ejercitación en el libro de Munkres.
Así que para trabajar nos quedan los ejercicios que hemos dejado marcados a lo largo de la teoría.
Traten de hacer esos ejercicios y compartan sus dificultades o al menos sus conclusiones o dudas.


Puntos y Espacios.

Es bueno mencionar aquí que en topología es costumbre llamar "espacio" al conjunto total \( X \), y a los elementos \( x \in X \) se les dice "puntos".

Esta nomenclatura refleja ideas geométricas, y para ser francos, tienen su origen en el estudio de las propiedades topológicas de los espacios \( n \)-euclidianos.

Así que acostumbrémenos a estos términos, que son de uso natural en topología.

Hasta la próxima. 

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Sección 13. Bases para una Topología.

¿Puede haber "bases" en topología?
Estamos quizá más acostumbrados a la idea de "base" de un espacio vectorial, la cual es un conjunto pequeño que permite "generar" todo el espacio.

En un espacio topológico, podemos buscar familias "pequeñas" de conjuntos abiertos que permitan generar todos los abiertos de la topología.
¿Cómo se generan? Mediante la operación de "unión de conjuntos".

Aquí vamos con la formalidad del asunto:

• Sea \( X \) un conjunto. Una base (topológica) es una colección \( \mathcal B \) de subconjuntos de \( X \), llamados elementos de la base, tal que:
  
  
  • (1) Para cada \( x\in X \), existe al menos un elemento \( B\in \mathcal B \) tal que \( x\in B \).
  • (2) Si \( x \) pertenece a dos elementos \( B_1,B_2 \), de la base \( \mathcal B \), entonces existe un elemento \( B_3\in\mathcal B \) tal que \( x\in B_3\subset B_1\cap B_2 \).
  
  
• Ejercicio. Si \( \mathcal B \) es una base en \( X \), se define la familia \( \tau \) mediante la siguiente propiedad: un subconjunto \( U \) de \( X \) es elemento de \( \tau \) si, para cada \( x\in U \) existe \( B \) en la base \( \mathcal B \) tal que \( x\in B\subset U \). En símbolos:
  
  
  \( \tau=\{U\subset X|\forall x\in U: \exists B\in \mathcal B(x\in B\subset U)\} \)
  
  Se pide demostrar que \( \tau \) es una topología sobre \( X \).
  
• Se dice que \( \tau \) es la topología generada por \( \mathcal B \).
  También se dirá que \( \mathcal{B} \) es una base para la topología \( \tau \) sobre \( X \).
  Obviamente, debido al resultado del punto anterior, hay una única posible topología generada por \( \mathcal{B} \).
  

Estas definiciones están sin duda inspiradas en los ejemplos de la geometría euclidiana. En ellos, las bolas abiertas son bases para la topología.

\(  \bullet \) Ejemplo 1. Considere el espacio euclidiano \( n \)-dimensional, con la noción de bola abierta que ya conocemos. En ese caso, la familia \( \mathcal B \) de todas las bolas abiertas de \( \mathbb{R}^n \) forman una base.
Ejercicio: se pide demostrar esa afirmación, o sea, hay que comprobar las propiedades (1) y (2) de la definición de base.

\(  \bullet \) Ejemplo 2. Considere la familia de todos los rectángulos abiertos (sin su borde) en el plano, que además tienen lados paralelos a los ejes coordenados.
Ejercicio: Demostrar que dicha familia es una base para el espacio euclidiano 2-dimensional (o sea, el plano).
¿Se animan a hacer un dibujito?

\(  \bullet \) Ejemplo 3. En un conjunto cualquiera \( X \) no vacío, considere la familia de todos los subconjuntos que constan de un solo punto.
Ejercicio: Demostrar que esa familia es una base, y más aún, la topología generada es la topología discreta.


\(  \bullet \) Lema 1. Sea \( X \) un conjunto; sea \( \mathcal B \) una base para una topología \( \tau \) sobre \( X \). Entonces \( \tau \) es igual a la colección de todas las uniones de elementos de \( \mathcal B \). En símbolos:

\( \tau=\{U|\exists \mathcal{A}\subset\mathcal{B}:(U=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A)\} \)

La prueba es muy sencilla, y se deja como ejercicio.
Recordar que el signo de igualdad en la fórmula conjuntística anterior requiere demostrar dos inclusiones, una en cada sentido.

El Lema 1 establece que todo todo conjunto abierto \( U \) en \( X \) puede expresarse como unión de elementos de la base.
Sin embargo, esta representación de \( U \) no es única en el caso general.

¿Hay algún criterio para determinar si cierta familia es o no una base?
La respuesta es afirmativa.

\(  \bullet \) Lema 2. Sea \( X \) un espacio topológico. Suponer que \( \mathcal{C} \) es una colección de conjuntos abiertos de \( X \) tal que: para cada conjunto abierto \( U \) de \( X \) y cada \( x\in U \), existe un elemento \( C\in\mathcal{C} \) tal que \( x\in C\subset U \). Entonces \( \mathcal C \) es una base para la topología de \( X \).

La demostración se deja como ejercicio. Aunque dejamos aquí los pasos principales que hay que demostrar:

• 1ro.: Demostrar que \( \mathcal C \) es una base.
  Esto significa comprobar que \( \mathcal{C} \) satisface las dos propiedades de la definición de base.
  
• 2do.: Sea \( \tau \) la colección de conjuntos abiertos de \( X \) (o sea, la topología tomada como hipótesis).
  Por otro lado, sea \( \tau' \) la topología generada por \( \mathcal{C} \) (esto tiene sentido porque en el ítem anterior ya hemos comprobado que \( \mathcal C \) es una base).
  Demostrar ahora que \( \tau=\tau' \).
  
  Es sencillo, pero hay que escribirlo bien, tan solo. Así que, ¡a pensar!
  

Les dejo un ejercicio meramente técnico:
la familia \( \mathcal{C} \) es, ni más ni menos que, un conjunto, y como tal, pertenece a cierta clase definida por determinada propiedad. La "propiedad" ha sido indicada en el enunciado del Lema 2.
¿Cómo describir la clase \( \mathcal{E} \) de todos los objetos/conjuntos que cumplen esa propiedad?
¿Cómo indicar usando sólo símbolos lógicos que \( \mathcal{C} \) es un elemento de esa clase?
¿Cómo expresar el enunciado del Lema 2 usando sólo símbolos lógicos?


Ejercicio Obligatorio: En los posts previos hemos visto varios ejemplos de topologías. La mayoría de ellas tienen un aspecto muy similar, puesto que en última instancia se definen en términos de ciertas bolas abiertas. Así que les dejo para que piensen y traten de demostrar las siguientes afirmaciones, además de incluir algún dibujo, si es posible:

• Demostrar que la familia \( \mathcal{B} \) que consta de todos los discos abiertos del plano euclidiano forman una base para la topología estándar de dicho plano.
• Demostrar que la familia \( \mathcal{B} \) que consta de todas las bolas abiertas del espacio euclidiano 3-dimensional forman una base para la topología estándar de dicho espacio.
• ¿En qué cambia el asunto si hablamos del espacio euclidiano \( n \)-dimensional?
• Demostrar que la familia \( \mathcal{B} \) que consta de todas las bolas abiertas de un espacio vectorial normado forman una base para la topología de dicho espacio.
• Demostrar que la familia \( \mathcal{B} \) que consta de todas las bolas abiertas de un espacio métrico forman una base para la topología de dicho espacio.
• Demostrar que la familia \( \mathcal{B} \) que consta de todos los intervalos abiertos de la recta real forma una base para la topología de dicha recta.
• Demostrar que la familia \( \mathcal{B} \) que consta de todos los intervalos abiertos de un conjunto \( X \) linealmente ordenado forma una base para la topología del orden de \( X \) (si hay dudas, esperar hasta la sección correspondiente en este mismo capítulo).

También hay bases triviales. En efecto, la familia \( \tau \) de conjuntos abiertos de una topología, es ella misma una base que genera la topología de "sí misma". Dejamos la comprobación de este sencillo hecho como un ejercicio.


Usando bases se puede determinar más fácilmente si una topología es más fina que otra.
Esto se demuestra en el siguiente Lema.

\(  \bullet \) Lema 3. En un conjunto \( X \), sea \( \mathcal{B} \) base para la topología \( \tau \), y sea \( \mathcal{B}' \) base para la topología \( \tau' \). Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

• (1) \( \tau' \) es más fina que \( \tau \).
• (2) Para cada \( x\in X \) y cada elemento \( B\in\mathcal{B} \), tal que \( B\ni x \), existe un elemento \( B'\in\mathcal{B}' \) tal que \( x\in B'\subset B \).

La demostración queda como ejercicio.
Sin embargo, damos aquí los pasos que hay que llevar a cabo:

• Para probar que \( (1)\Rightarrow{(2)} \), se debe suponer que \( \tau'\supset\tau \).
  Bajo esa hipótesis, suponer además que se ha tomado un elemento \( x\in X \) y un \( B\in \mathcal{B} \) tal que \( x\in B \).
  Ahora hay que demostrar para \( x \) la conclusión de (2), a saber, que hay un \( B'\in\mathcal{B}' \) tal que \( x\in B'\subset\mathcal{B}' \).
  
• Para probar que \( (2)\Rightarrow{(1)} \), se debe suponer que vale la condición (2), y se debe probar que \( \tau\subset \tau' \), o sea, dado \( U\in\tau \), probar que \( U\in\tau' \).
  

Ideas intuitivas tras el concepto de "topologías más finas"

Para entender la "idea" de "más fina que" uno puede pensar en "mallas".
Pensemos en redes de pesca. Tomamos una de estas redes, y a cada cuadradito determinado por la "malla" lo dividimos en 4 partes iguales, cuyos bordes se unen con hilos. Se obtiene una "malla más fina" que la original.
Imaginemos que las bases de la topología son los cuadraditos de esas "mallas de pesca".
Los conjuntos abiertos serían todas las uniones posibles de esos cuadraditos.
Obviamente, en la "malla más fina", hay más abiertos posibles, formados por uniones de cuadraditos más diminutos.

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\(  \bullet \) Ejemplo 4. Considere en el espacio euclidiano 2-dimensional las dos familias de conjuntos siguientes:

• \( \mathcal{B} \) es la familia de todos los discos abiertos del plano.
• \( \mathcal{B}' \) es la familia de todos los rectángulos abiertos del plano (o sea, rectángulos con el interior "lleno" pero sin su borde), cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados.

Ejercicio. Se pide demostrar que ambas bases generan la misma topología.
Esto se hace con ayuda del Lema 3, y teniendo en cuenta que si una topología es más fina que otra, y viceversa, entonces ambas topologías son iguales. (¿Es esto cierto? ¿Por qué?)

\(  \bullet \) Ejercicio. Analizar la misma situación en el espacio euclidiano 3-dimensional, esta vez usando bases de bolas abiertas y de paralelepípedos abiertos (con caras paralelas a los planos coordenados).

\(  \bullet \) Ejercicio. ¿Cómo generalizaría usted el ejercicio anterior al espacio euclidiano \( n \)-dimensional? ¿Y a un espacio vectorial normado? ¿Y a un espacio métrico? ¿Y qué pasa con las bolas y los rectángulos cuando la dimensión euclidiana es \( n=1 \)?

Vamos a ver ahora las 3 topologías más "famosas" sobre la recta real.

\(  \bullet \) Definición. Consideremos el conjunto \( X=\mathbb{R} \) de la recta real.

• Se llama topología estándar a la topología generada por la base \( \mathcal{B} \) que consta de todos los intervalos abiertos, o sea, conjuntos de la forma:
  
  
  \( (a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a<x<b\},\qquad\qquad a<b. \)
  
  Salvo que se diga lo contrario, se supondrá que en \( \mathbb{R} \) tomamos la topología estándar.
  
  
• Se llama topología del límite inferior a la topología generada por la base \( \mathcal{B}' \) que consta de todos los intervalos semiabiertos  de la forma:
  
  
  \( [a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a \leq x<b\},\qquad\qquad a<b. \)
  
  Cuando se dota a \( \mathbb{R} \) con esta topología, usamos mejor la notación \( \mathbb{R}_\ell \)
  
  Observación: Es posible definir también una topología del límite superior. ¿Cómo? Respuesta: ejercicio.
  
• \( K \)-topología: Sea \( K \) el conjunto de todos los números de la forma \( 1/n \), con \( n\in\mathbb{Z}^+ \), y
  sea \( \mathcal{B}'' \) la colección que consta de todos los intervalos abiertos \( (a,b) \), y además todos los conjuntos de la forma \( (a,b)-K \).
  Se llama \( K \)-topología a la topología generada por la base \( \mathcal{B}'' \).
  
  Cuando damos a \( \mathbb{R} \) esta topología, denotamos mejor \( \mathbb{R}_K \).
  

\(  \bullet \) Ejercicio. En la definición anterior hemos dicho que \( \mathcal{B} \), \( \mathcal{B}' \) y \( \mathcal{B}'' \) son bases. ¿Es cierto eso? Demostrarlo.
¿Por qué hay que comprobarlo? 
Porque sólo una vez que esto ha sido comprobado tenemos derecho a dar la definición de arriba. De lo contrario, al no saber si las familias indicadas son o no son bases, ¡¡¡no tendría sentido hablar de "la topología generada por tal o cual base"!!! 

Pero la comprobación es fácil.
Observemos además que, en cada una de las bases anteriores, la intersección de dos elementos cualesquiera vuelve a ser un elemento de la base, o bien es vacía.

\(  \bullet \) Lema 4. Las topologías de \( \mathbb{R}_\ell \) y \( \mathbb{R}_K \) son estrictamente más finas que la topología estándar de \( \mathbb{R} \). sin embargo, no son comparables entre sí.

La demostración queda como ejercicio.
Digamos al menos lo que hay que hacer. Se trata de tres tareas:

• Probar que \( \mathbb{R}_\ell \) es estrictamente más fina que la topología de \( \mathbb{R} \).
  Esto se hace en dos partes: primero, ver que todo intervalo abierto que contiene un punto x, contiene a un intervalo semiabierto que contiene también a \( x \).
  Segundo: lo recíproco no siempre puede realizarse, por ejemplo tomando el extremo izquierdo de un intervalo semiabierto \( [a,b) \).
  
• Probar que \( \mathbb{R}_K \) es estrictamente más fina que la topología de \( \mathbb{R} \).
  Que es más fina es fácil, porque su base contiene trivialmente a todos los intervalos abiertos.
  Luego hay que buscar un elemento \( B \) de la base de \( \mathbb{R}_K \) y un punto \( x\in B \), tal que ningún intervalo abierto contenga a \( x \) y esté a su vez contenido en \( B \). Pista: Tomar \( x=0 \) y B=(-a,a)-K, algún \( a>0 \).
  
• Demostrar que las topologías \( \mathbb{R}_\ell \) y \( \mathbb{R}_K \) no son comparables.
  El método es siempre el mismo: aplicar la caracterización del Lema 3 buscando un punto "rebelde" en algún elemento de la base. Hacer esto con cada base en relación a la otra.
  

Si bien las bases simplifican el trabajo de verificar o construir topologías, aún tenemos todo el tiempo el trabajo de chequear si una familia de conjuntos dada es o no una base.
Sería bueno evitarse ese trabajo.

¿Es posible "generar" una topología a partir de cualquier familia de conjuntos?

La respuesta es afirmativa. Para ello se considera una familia "prácticamente" cualquiera de subconjuntos de \( X \), y se forma a partir de ahí una base, que luego produce como ya sabemos una topología.

\(  \bullet \) Una subbase \( \mathcal{S} \) (topológica) en un conjunto \( X \) es una colección de conjuntos cuya unión es todo \( X \).

Observemos que el único requisito que se pide en esta definición es que la unión de todos los elementos de la colección \( \mathcal{S} \) sea todo \( X \).
Esta exigencia es importante, porque al "generar" todas las uniones posibles, queremos que el conjunto \( X \) sea uno de los miembros "generados", ya que \( X \) debe ser miembro de toda topología definible sobre \( X \) mismo.

\(  \bullet \) Ejercicio. Sea \( \mathcal{S} \) una subbase en \( X \), y defínase \( \mathcal{B} \) como la familia de todas las intersecciones de subcolecciones finitas de elementos de \( \mathcal{S} \). Demostrar que \( \mathcal{B} \) es una base en \( X \).

Ahora es posible obtener una topología a través de la base obtenida en el ejercicio precedente, simplemente tomando todas las uniones de sus elementos, gracias al Lema 1.

\(  \bullet \) Dada una subbase \( \mathcal{S} \) en un conjunto \( X \), se llama topología generada por la subbase \( \mathcal{S} \) a la familia \( \tau \) de todas las uniones de intersecciones de subcolecciones finitas de \( \mathcal{S} \).

Pequeña reflexión: ¿Es cierto que \( \tau \) en la definición anterior es una topología? Ya lo hemos dicho... pero repasémoslo de nuevo, sólo para estar seguros. 


Pregunta filosófica:

\(  \bullet \) Ejercicio. ¿Es cierto que toda base es también una subbase?


En el desplegable siguiente va la lista de ejercicios del libro.
Tanto para los ejercicios propuestos en la teoría, como para los que vienen a continuación: traten de hacer los que puedan, y hagan preguntas, consultas o comentarios.
¡No trabajen solos!
No tengan vergüenza de equivocarse. Aprovechen el anonimato de Internet para perder la vergüenza. 
Equivocarse es el combustible del aprendizaje.   

El objetivo del curso es que ustedes entiendan y aprendan, y no que yo me luzca.
Así que participen para ver qué cosas tengo que corregir o arreglar en la exposición.
Y tropiecen con los ejercicios y las demostraciones, porque así van a salir buenos topólogos.

Ejercicios Sección 13

• Ejercicio 13.1 Sea \( X \) un espacio topológico; sea \( A\subset X \).
  Suponer que para cada \( x\in A \) hay un conjunto abierto \( U \) tal que \( x\in U, U\subset A \).
  Mostrar que \( A \) es abierto en \( X \).
  
• Ejercicio 13.2 Considere las 9 topologías sobre el conjunto \( X=\{a,b,c\} \) del Ejemplo 1 de la sección 12.
  Determine para cada par de esas topologías cuáles son comparables, y si lo son, cuál es la más fina.
  
• Ejercicio 13.3 Muestre que la colección \( \mathcal{T}_c \) dada en el Ejemplo 4 de la sección 12 es una topología sobre el conjunto \( X \).
  ¿Es la siguiente colección una topología sobre \( X \)?:
  
  
  \( \tau_\infty=\{U|X-U\textsf{\ es infinito, o vacío, o es el total\ }X\}. \)
  
  
• Ejercicio 13.4
  
  • (a) Si \( \{\tau_\alpha\}_\alpha \) es una familia de topologías sobre \( X \), muestre que \( \bigcap_\alpha \tau_\alpha \) es una topología sobre \( X \).
    ¿Es \( \bigcup_\alpha \tau_\alpha \) una topología sobre \( X \)?
    
  • (b) Sea \( \{\tau_\alpha\}_\alpha \) una familia de topologías sobre \( X \).
    Muestre que hay una única topología más pequeña sobre \( X \) que contiene a todas las colecciones \( \tau_\alpha \), y que
    hay una única topología mayor que está contenida en todas las \( \tau_\alpha \).
    
  • (c) Si \( X=\{a,b,c\} \), seaa
    
    
    \( \tau_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\},\qquad\qquad\tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}. \)
    
    Hallar la topología más pequeña que contiene a \( \tau_1 \) y a \( \tau_2 \), y
    la topología más grande contenida en \( \tau_1 \) y \( \tau_2 \).
    
  
  
• Ejercicio 13.5 Muestre que si \( \mathcal{A} \) es una base para una topología sobre \( X \), entonces la topología generada por \( \mathcal{A} \) es igual a la intersección de todas las topologías sobre \( X \) que contienen a \( \mathcal{A} \).
  Pruebe lo mismo si es que \( \mathcal{A} \) es una subbase.
  
• Ejercicio 13.6 Muestre que las topologías de \( \mathbb{R}_\ell \) y \( \mathbb{R}_K \) son no-comparables.
  
• Ejercicio 13.7 Considere las siguientes topologías sobre \( \mathbb{R} \):
  
  
  \( \begin{align*}
  \tau_1 &= \textsf{\ la topologia est\'andar},\\
  \tau_2 &= \textsf{\ la topologia de\ } \mathbb{R}_K,\\
  \tau_3 &= \textsf{\ la topologia de complementos finitos},\\
  \tau_4 &= \textsf{\ la topologia del limite superior, que tiene a todos los conjuntos\ }(a,b]\textsf{\ como base},\\
  \tau_5 &= \textsf{\ la topologia que tiene a todos los conjuntos\ }(-\infty,a)=\{x|x<a\}\textsf{\ como base},\\
  \end{align*}
   \)
  
  Determine, para cada una de estas topologías, cuáles de las otras la contiene.
  
• Ejercicio 13.8
  
  • (a) Aplicar el Lema 2 para mostrar que la colección numerable
    
    
    \( \mathcal{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\} \)
    
    es una base que genera la topología estándar de \( \mathbb{R} \).
    
  • (b) Muestre que la colección
    
    
    \( \mathcal{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\} \)
    
    es una base que genera una topología diferente de la topología del límite inferior sobre \( \mathbb{R} \).
    
  
  

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Sección 14.Topología del Orden.

Al dar la seguidilla de ejemplos de espacios topológicos hemos hablado ya de la topología del orden y dimos algunos ejemplos.
Aquí seremos más sistemáticos y estrictos, y seguiremos al texto de Munkres.

Antes que nada, el concepto de relación de orden está siempre sujeto a confusión, porque los distintos autores no se ponen de acuerdo en una noción universalmente aceptada del término relacion de orden. Cada cual adopta lo que más le gusta, y eso es un grave inconveniente, dado que se trata de un concepto matemático tan fundamental. Los detalles pertinentes, y las convenciones adoptadas en este curso, han sido debidamente explicadas en el post de la Sección 3.

Supongamos que un conjunto \( X \) está linealmente (y estrictamente) ordenado por una relación que indicamos con el signo corriente \( < \).
La naturaleza de este orden no tiene por qué ser similar al orden conocido de los sistemas numéricos.
Puede que en \( X \) haya un elemento mínimo (menor que todos los demás), o bien uno máximo (mayor que todos los demás), o bien ambos, o bien ninguno.

La relación de orden lineal (estricto) \( < \) en \( X \) "induce" en forma natural una topología en \( X \).
Dicho de otro modo: a partir del orden se puede generar una topología en un conjunto.
El modo usual de hacerlo es tomando a los "intervalos abiertos" como elementos de la base de la topología.

Sean \( a,b \), elementos dados de \( X \) tales que \( a < b \). Definimos los siguientes conjuntos en \( X \):

• (a): \( (a,b)=\{x\in X|a<x<b\} \).
• (b): \( (a,b]=\{x\in X|a<x \leq b\} \).
• (c): \( [a,b)=\{x\in X|a \leq x<b\} \).
• (d): \( [a,b]=\{x\in X|a \leq x \leq b\} \).

Esos tipos de conjuntos se llamarán intervalos. (Nótese que hablamos de intervalos en el contexto de un conjunto ordenado \( X \) cualquiera, no necesariamente números).

• Definición. Sea \( X \) un conjunto, con más de un elemento, y con una relación de orden lineal (estricto) \( < \) definida en él. Sea \( \mathcal{B} \) la colección de todos los intervalos de una de las siguientes formas:
  
  
  • (1) \( (a,b) \), para \( a,b\in X, a<b \).
  • (2) \( [a_0,b) \), para \( b\in X, \) siempre y cuando exista un elemento mínimo \( a_0\in X \).
  • (3) \( (a,b_0] \), para \( a\in X, \).siempre y cuando exista un elemento máximo \( b_0\in X \).
  
  En tal caso, la colección \( \mathcal{B} \) es base para una topología \( \tau \) sobre \( X \).
  Se llama a \( \tau \) la topología del orden sobre \( X \).
  
• Ejercicio: Demostrar que efectivamente la colección \( \mathcal{B} \) es base de una topología.
• Observación: En la definición anterior, los intervalos de las formas (2) y (3) se agregan por "consistencia". En efecto, si queremos que nuestra colección \( \mathcal{B} \) sea una base, necesitamos que cada "individuo" que vive en \( X \) tenga un "techo" donde acogerse en la sociedad \( \mathcal{B} \), vale decir, un conjunto \( B\in\mathcal{B} \) tal que \( x\in B \).
  Y entonces uno se pregunta, ¿qué tal si hay algún \( x=a_0\in X \), que es mínimo en \( X \)? ¿En cuál de los intervalos \( (a,b) \) del ítem (1) podría vivir ese \( x \)? Obviamente en ninguno. Así que se agrega la condición (2). Algo similar ocurre para elementos máximos.
  
• Comentario. Uno podría pensar, a raíz de la observación precedente, que somos demasiado "caprichosos" al defender a ultranza ya sea la definición de base, como la de topología. ¿No sería mejor modificar dichas definiciones de manera que dejando sólo el ítem (1) se obtenga una topología del orden?
  La primer objeción a este pregunta que se nos ocurre es que no tiene sentido cambiar las definiciones fundamentales de úna teoría cada vez que aparece un ejemplo algo quisquilloso, sino que más bien conviene adaptar el ejemplo a las definiciones.
  Pero hay razones de mayor peso para mantener la definición anterior, con los casos especiales de los ítems (2) y (3), y tiene que ver con el acertado tratamiento de un tema que desarrollaremos más adelante, a saber, el de las topologías relativas. Al relativizar la topología del orden a conjuntos más pequeños, se obtendrá de nuevo una topología de orden, pero eso sólo gracias a la definición arriba adoptada.
  

• Los intervalos de la forma \( (a,b) \) se llaman abiertos.
• Los intervalos de la forma \( (a,b] \) ó \( [a,b) \) se llaman semiabiertos.
• Los intervalos de la forma \( [a,b] \) se llaman cerrados.

El texto de Munkres da estas definiciones antes de introducir la topología del orden.
Es natural hacerlo así, pero como siempre, lo hemos evitado porque ¿cómo llamar intervalo abierto a un conjunto que todavía no sabemos que es abierto?
Claro es que el significado de intervalo abierto significa en este caso que los extremos \( a,b \), de \( (a,b) \) no pertenecen al conjunto considerado.
Pero la palabra abierto en topología tiene un significado especial e importantísimo, y no conviene usarla a la ligera.

La terminología de los textos matemáticos, lamentablemente, muy a menudo lleva a confusiones innecesarias.
La raíz de estas confusiones obedece a seguir viejas constumbres, de autores respetados, o de usos demasiado arraigados en el ambiente profesional.
Mi opinión es que es más importante dejar asentada una ciencia bien consolidada, y no tanto defender la costumbre de los "próceres".
Todos veneramos a los grandes matemáticos, o a los buenos libros, pero la seriedad científica siempre debe estar por encima de estas cosas.
Así que: primero establecemos que los intervalos de la forma \( (a, b) \) son abiertos en la topología del orden. Y después nos autorizamos a llamar a esos conjuntos intervalos abiertos.



Vayamos a los ejemplos.

 \(  \bullet \) Ejemplo 1. En el sistema de números reales \( \mathbb{R} \), con la relación de orden usual, tenemos una topología del orden, claro está, pero los intervalos de la base son sólo del tipo (1), ya que en \( \mathbb{R} \) no hay elementos que sean el mínimo ni el máximo (dado un \( c\in\mathbb{R} \), siempre existen \( a, b\in\mathbf{R} \) tales que \( a<c \) y \( c<b \)).
Se deja como ejercicio comprobar que la topología del orden en \( \mathbb{R} \) es la misma que la topología estándar.

Recordemos ahora los conceptos de la Sección 3 sobre el orden de diccionario, y las notaciones en colores usadas para distinguir los pares ordenados de los intervalos.

Click aquí para ir al post de Temas secciones 1 a 5

• Ejemplo 2. Consideramos el plano coordenado \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) con el orden de diccionario:
  
  
  \( {\color{blue}(}a_1,a_2{\color{blue})} < {\color{blue}(}b_1,b_2{\color{blue})}\textsf{\ sii\ }a_1 < b_1 \) ó \( a_1=b_1, a_2 < b_2. \)
  
  Se deja como ejercicio comprobar que con esta relación de orden, el conjunto \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) no tiene elementos que sean ni el primero (o sea un mínimo) ni el último (o sea un máximo).
  Un intervalo abierto tiene ahora la forma:
  
  
  \( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}x, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}x, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}\} \)
  
  Dejamos el ejercicio de "intentar" graficar ejemplos de estos intervalos.
  
  Ya sabemos que la colección \( \mathcal{B} \) formada por todos estos intervalos abiertos respecto el orden lexicográfico en \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) tienen que formar una base para una topología de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \).
  ¿Alguna intuición de cómo son los conjuntos abiertos en esta topología?
  
  Observemos el caso especial de los intervalos que tienen la primer coordenada fija, o sea, los de la forma:
  
  
  \( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\} \)
  
  Es un sencillo ejercicio verificar que la colección \( \mathcal{B} \) de este tipo de intervalos con una coordenada fija, también es una base para una topología de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \).
  Más aún (corregido), esta topología es la misma que la topología del orden en \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \). ¿Por qué?
  

• Ejemplo 3. Considérese el sistema de enteros positivos \( \mathbb{Z}_+ \) con el orden \( < \) usual. Consideremos aquí el comportamiento de la topología del orden. Dejamos como ejercicio los siguientes hechos:
  
  • Observar que \( \mathbb{Z}_+ \) tiene un elemento mínimo.
    Prestar atención entonces al tipo de intervalos que han de incluirse en la base de la topología del orden.
    
  • Demostrar que los subconjuntos de \( \mathbb{Z}_+ \) que tienen un solo punto, son abiertos (en la topología del orden).
  • Usar el hecho precedente para demostrar que la topología discreta coincide en este caso con la topología del orden.
  Recomiendo encarecidamente meditar sobre este último hecho.
  En cierto sentido, los puntos del espacio topológico \( \mathbb{Z}_+ \) están aislados.
  Más concretamente, dado un punto cualquiera \( n\in\mathbb{Z}_+ \), entre él y su siguiente \( n+1 \) no existen otros puntos \( x\in\mathbb{Z}_+ \) tal que \( n<x<n+1 \).
  Este tipo de situaciones en los conjuntos ordenados nos llevarán siempre a preguntarnos si la topología del orden obtenida es o no igual a la topología discreta.
  

• Ejemplo 4. Consideremos el conjunto \( \{1,2\} \) ordenado de la manera obvia: \( 1<2 \), y sea \( X=\{1,2\}\times\mathbb{Z}_+ \), con el orden lexicográfico, y la correspondiente topología del orden.
  El autor Munkres elige denotar a los elementos de la forma \( {\color{blue}(}1, n{\color{blue})} \) como \( a_n \) y a los de la forma \( {\color{blue}(}2, n{\color{blue})} \) como \( b_n \). En ese caso, uno puede "visualizar" el orden escribiendo una especie de lista, de izquierda a derecha, así:
  
  
  \( a_1,a_2,a_3,\cdots;\quad b_1,b_2,b_3,\cdots \)
  
  
• Ejercicio: Comprobar que hay un primer elemento con el orden lexicográfico, y anotar correctamente cómo son los elementos de la base en este caso.
• Ejercicio: Comprobar que ahora la topología del orden no es la topología discreta.
• Ejercicio: La mayoría de los conjuntos de un solo punto son también conjuntos abiertos.
• Ejercicio: El conjunto que consta sólo del punto \( b_1 \) no es un conjunto abierto. ¿Hay otros ejemplos de esto en \( X \)?

En la recta real se puede hablar de intervalos semiinfinitos ó infinitos.
La misma notación puede usarse en conjuntos ordenados en general, pero la interpretación no necesariamente es la misma, según los casos.
Veamos la definición, y después discutamos un poco la situación:

• Definición Si \( X \) es un conjunto linealmente (y estrictamente) ordenado y \( a\in X \), entonces se definen unos conjuntos llamados rayos determinados por \( a \), de la siguiente manera:
  
  • \( (a,+\infty)=\{x\in X|x>a\}. \)
  • \( (-\infty,a)=\{x\in X|x<a\}. \)
  • \( [a,+\infty)=\{x\in X|x \geq a\}. \)
  • \( (-\infty,a]=\{x\in X|x \leq a\}. \)

Dejamos planteado el ejercicio de que la familia de todos estos rayos no forma necesariamente una base para una topología en \( X \) (basta considerar algún \( X \) conocido, como la recta real).
Más hechos dejados como ejercicios:

• Observe que, cuando \( X \) tiene un elemento máximo \( b_0 \), se tiene la igualdad: \( (a,+\infty)=(a,b_0] \).
  Esta situación es notacionalmente confusa, porque estamos acostumbrados al significado de \( (a,+\infty) \) en la recta real.
  Es bueno reflexionar lo que esto significa en el caso general: es una mera notación.
  Los símbolos \( +\infty,-\infty \) no representan puntos, ni situaciones límite, ni nada que nos haga recordar operaciones del cálculo.
  
  Algo similar podemos decir cuando en \( X \) hay algún elemento mínimo.
  Son situaciones que se dejan para reflexionar.
  
• Los rayos de la forma \( (a,+\infty) \) y \( (-\infty,a) \), son conjuntos abiertos en la topología del orden.
  Para comprobar esto, hay que separar en casos distintos, según que en \( X \) haya o no elementos mínimos y/o máximos.
  
• Añadiendo a la familia de rayos los conjuntos \( \emptyset \) y \( X \), se obtiene una subbase para una topología, y esta topología generada coincide con la topología del orden.
  ¿Cómo se demuestra esto? Es sencillo, pero hay que hacer los pasos.
  

Finalmente, podemos dar las siguientes definiciones:

Los rayos de la forma \( (a,+\infty),(-\infty,a) \) se dicen abiertos, y
los rayos de la forma \( [a,+\infty),(-\infty,a] \) se dicen cerrados.

\(  \bullet \) Pregunta capciosa: ¿En qué casos puede ocurrir que un rayo cerrado sea también un conjunto abierto?


Hasta la próxima.



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[argentinator]

Sección 15. La Topología Producto sobre X x Y

\( \bullet \) Definición:

Sean \( X,Y \) dos espacios topológicos. Considere la familia de conjuntos

\( \mathcal{B}=\{U\times V|U\textsf{\ abierto en\ }X, V\textsf{\ abierto en\ }Y\} \)

Dejamos la siguiente lista de ejercicios.
(En estos casos conviene hacer alguna representación geométrica que simplifique las ideas, por ejemplo, esquematizando los conjuntos \( X,Y \) en un par de ejes coordenados):

• Demostrar que la familia \( \mathcal{B} \) es  una base para una topología en el conjunto producto \( X\times Y \).
  Basta tener en cuenta la definición de base y la igualdad de conjuntos:
  
  \( (U_1\times V_1)\cap(U_2\times V_2)=(U_1\cap U_2)\times(V_1\cap V_2). \)
• Demostrar con algún ejemplo típico (por ejemplo, la topología de la recta real) que la unión de dos elementos de \( \mathcal{B} \) no es, en general, un elemento de \( \mathcal{B} \).
  En otras palabras, la la unión de "productos de abiertos" no es de nuevo un "producto de abiertos".
  
• Demostrar que, en general, la familia \( \mathcal{B} \) no es una topología.
  Para esto, aprovechar el "inconveniente" de las uniones del ítem precedente.
  
• Si bien las uniones de elementos de \( \mathcal{B} \) no están en \( \mathcal{B} \), dichas uniones son abiertos de la topología generada por \( \mathcal{B} \) (por ser elementos de la base misma).

\(  \bullet \) Definición: A la topología generada por la familia \( \mathcal{B} \) recién explicada, se le llama topología producto sobre el conjunto \( X\times Y \).

\(  \bullet \) Pregunta: ¿Es necesario definir una topología con ese formato en el producto cartesiano \( X\times Y \) de dos espacios topológicos? Respuesta: No necesariamente. Más abajo veremos un caso corriente. En todo caso, la topología producto nos da un modo natural y sistemático de construir una topología en un producto cartesiano.

\(  \bullet \) Teorema 1. Si \( \mathcal{B} \) es una base para la topología de \( X \), y \( \mathcal{C} \) es una base para la topología de \( Y \), entonces la colección

\( \mathcal{D}=\{B\times C| B\in\mathcal{B}, C\in\mathcal{C}\} \)

es una base para la topología producto de \( X\times Y \).

Demostración: Se deja como ejercicio. No obstante, mencionemos que la prueba es sencilla, y basta tener en cuenta el Lema 13.2.

\(  \bullet \) Observación. Fijémonos en el hecho curioso de que la colección de productos de topologías no nos da una topología, sino sólo una base. En cambio, la colección de productos de bases nos da una base.
Una moraleja de esto, quizá, es que al tratar productos cartesianos, es más sencillo trabajar con las bases antes que renegar constantemente con la topología en sí misma.

\(  \bullet \) Ejemplo 1. Consideremos el caso especial de \( X=Y=\mathbb{R} \) con la topología estándar. Al considerar ahora la topología producto en \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) nos encontramos conque la base \( \mathcal{B} \) consta de todos los conjuntos de la forma \( (a,b)\times (c,d) \), siendo \( (a,b),(c,d) \) intervalos abiertos en \( \mathbb{R} \).
Estos conjuntos \( (a,b)\times (c,d) \) tienen el aspecto de rectángulos rellenos y sin sus bordes.
Como se vio en el Ejemplo 2 de la Sección 13, estos rectángulos abiertos son una base de la topología estándar de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \).
Pero en definitiva estamos diciendo que la topología producto en este caso coincide con la topología estándar (que originalmente se había definido con discos abiertos como base...).

Observemos ahora que la topología del orden en \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) no tiene nada que ver con la topología producto.
Se trata de topologías bien diferentes la una de la otra, como puede comprobarse fácilmente con unos cuantos ejemplos.
¿Es alguna de estas topologías más fina que la otra?
Antes de responder: ¡¡hacer dibujos!!


Pasemos al importante tema de las proyecciones.

Sean \( \pi_1:X\times Y\to X \) y \( \pi_2:X\times Y\to Y \) funciones definidas de la siguiente manera:

\( \pi_1(x,y)=x \)

\( \pi_2(x,y)=y \)

\(  \bullet \) Definición. Se llama a estas funciones las proyecciones de \( X\times Y \) en sus 1era y 2da coordendas, o bien, en su 1er y 2do factores.

Si ninguno de los conjuntos \( X,Y \) es vacío, entonces las proyecciones son funciones suryectivas.
Si alguno es vacío, el producto es vacío, y fin del cuento.

Si \( U\subset X,V\subset Y \) entonces las preimágenes de las proyecciones satisfacen las relaciones triviales siguientes:

\( \pi_1^{-1}(U)=U\times Y,\qquad \pi_2^{-1}(V)=X\times V \)

El gráfico de estas preimágenes lucen como franjas o bandas cuando se hace un esquema en coordenadas cartesianas.

Si además \( U \) es abierto en \( X \) y \( V \) es abierto en \( Y \), entonces obviamente los conjuntos \( U\times Y,X\times V \) son abiertos en la topología producto de \( X\times Y \), y esto es lo mismo que decir que las preimágenes \( \pi_1^{-1}(U),\pi_2^{-1}(V) \) son conjuntos abiertos en la topología producto.
Si ahora tomamos la intersección de estas dos franjas, obtenemos el conjunto \( U\times V \), que es abierto de la topología producto por ser elemento de la base.

A estos conjuntos \( U\times V \) se los suele llamar "rectángulos", generalizando exageradamente las ideas geométricas del plano euclidiano.

\(  \bullet \) Teorema 2. La colección de conjuntos que sigue, es una subbase para la topología producto de \( X\times Y \):

\( \mathcal{S}=\{\pi_1^{-1}(U)| U \textsf{\ abierto en\ }X\} \cup \{\pi_2^{-1}(V)| V \textsf{\ abierto en\ }Y\}  \)

Demostración. Dejamos como fácil ejercicio comprobar que la familia \( \mathcal{S} \) es una subbase. Aceptando este hecho, continuamos así:

Supongamos que \( \tau  \) es la topología producto en \( X\times  Y \),
y que \( \tau '  \) es la topología generada por \( \mathcal{S} \).
Es sencillo comprobar que todo elemento de \( \mathcal{S} \) es un elemento de \( \tau  \).
En particular, las uniones arbitrarias y las intersecciones finitas de elementos de \( \mathcal{S} \) son elementos de \( \tau  \) (¡¡comprobarlo!!).
Esto demuestra que \( \tau '\subset \tau  \).
Por otro lado, cada elemento \( U\times  V \) de la base de \( \tau  \) puede escribirse como intersección finita de elementos de \( \mathcal{S} \), así:

\( U\times V=\pi_1^{-1}(U)\times  \pi_2^{-1}(V). \)

Por lo tanto \( U\times  V\in \tau ' \).
Como estos son los elementos de la base de la topología producto, podemos concluir ahora que \( \tau \subset \tau ' \).
Finalmente, tenemos la conclusión deseada: \( \tau =\tau ' \).

Q.E.D.


La acción de proyectar es una función sobreyectiva, y por lo tanto, cualitativamente hablando, se pierde información
Cuando tomamos las preimágenes de esas proyecciones, estamos haciendo un intento de reconstruir el conjunto original, y escribirlo como producto cartesiano de un par de conjuntos....
Esto en general no puede hacerse, justamente porque las proyecciones son como sombras, y en tal sentido, la información perdida no puede recuperarse.

A lo sumo, lo único que puede recuperarse es "cierto rectángulo o caja" dentro del cual reside el conjunto originalmente proyectado.
Veamos un ejemplo de esto en el plano \( \mathbb{R}\times \mathbb{R} \).
La figura del dibujo es un conjunto abierto en la topología producto, puesto que en cada punto \( (x,y) \) de la figura puede ponerse un pequeño rectángulo que contenga al punto y al mismo tiempo esté contenido en la silueta completa.
Al proyectar perdemos información, y así, al tomar las preimágenes y luego calcular su producto cartesiano, lo que obtenemos es el rectángulo abierto que mejor se ajusta a la figura, pero nos quedan trozos de figura sobrantes, que no pertenecen a la silueta original.

Esta historia pronto continúa...


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Sección 16. La Topología del Subespacio.

En muchas ocasiones de nuestro trabajo matemático necesitaremos restringir nuestro espacio de trabajo a conjuntos más pequeños del original, pero más todavía, nos hará falta mantener comunicados ambos conjuntos, el grande y el pequeño, y mantener cierto paralelismo en sus propiedades geométricas intrínsecas.
Este es el caso típico en la teoría de superficies suaves.
Si tenemos una superficie suave bidimensional sumergida en el espacio euclidiano tridimensional, vamos a querer "mirar con lupa" a la superficie, intersectándola con bolas abiertas tridimensionales, y así nos será más sencillo manejar los conceptos topológicos y geométricos de la superficie, cuya descripción puede ser bastante compleja, mientras que el espacio tridimensional de soporte tiene una estructura bien conocida y más amigable.

Hay muchos otros intereses en el estudio de topologías para conjuntos restringidos, pero quizá convenga ir descubriéndolos en los ejemplos y ejercicios.

\(  \bullet  \) Definición. Sea \( X \) un espacio topológico cuya topología es \( \tau  \).
Sea \( Y \) un subconjunto no vacío de \( X \), y sea \( \tau _Y \) la siguiente familia de subconjuntos de \( Y \):

\( \tau _Y=\{Y\cap U| U\in\tau \}. \)

Esto quiere decir que los elementos de \( \tau_Y \) se forman tomando los abiertos de \( \tau  \) y luego intersectándolos con \( Y \).
Se deja como ejercicio demostrar que \( \tau_Y \) es una topología en el conjunto restringido \( Y \).
Se llama a \( \tau _Y \) la topología de subespacio.
Con esa topología se dice que \( Y \) es un subespacio (topológico) de \( X \).

\(  \bullet  \) Lema 1. Si \( \mathcal{B} \) es una base para la topología de \( X \), entonces la familia

\( \mathcal{B}_Y=\{B\cap  Y| B\in\mathcal{B}\} \)

es una base para la topología subespacio sobre \( Y \).

Demostración. Es bastante sencilla, usando el Lema 13.2, así que la dejamos como ejercicio.


Ahora se puede armar una terrible mezcolanza de abiertos en \( X \) y abiertos en \( Y \).
Consideremos el espacio \( X=\mathbb{R} \) y el subespacio \( Y=[0,1] \), o sea, el intervalo unitario cerrado en la recta real.
Por ser \( Y \) un abierto respecto de su propia topología de subespacio, resulta que \( [0,1] \) es abierto en \( Y \).
Sin embargo, sabemos, o podemos verificar, que el intervalo \( [0,1] \)  no es un conjunto abierto en la topología de \( X \).
Conjuntos como \( [0,a) \), con \( 0< a< 1 \) son abiertos \( Y \), pero no lo son en \( X \).

Situaciones mucho más peculiares pueden presentarse, y en general hay que tener bien claro que la topología de subespacio puede ser muy diferente de la topología del espacio original del que se partió. Tan solo están una relacionada con la otra, pero el manejo de estos conceptos debe hacerse con sumo cuidado.

Moraleja: Todo conjunto puede volverse abierto respecto de la topología de subespacio sobre sí mismo.

Si \( Y \) es un subespacio de \( X \) diremos que un conjunto \( U \) es abierto en \( Y \), o  bien que es abierto relativo a \( Y \) siempre que \( U \) pertenezca a la topología del subespacio \( Y \). En particular esto implica que \( U\subset Y \).
Este tipo de nomenclatura es suficiente para evitar confusiones innecesarias.
Sin embargo, hay situaciones especiales en las que un conjunto es abierto en ambas topologías:

\(  \bullet  \) Lema 2. Sea \( Y \) subespacio de \( X \). Si \( U \) es abierto en \( Y \) e \( Y \) es abierto en \( X \), entonces \( U \) es también abierto en \( X \).

Demostración. Es muy sencilla, y la dejamos como ejercicio.


Ahora veamos que la vida nos sonríe al trabajar con topologías producto y subespacios.

\(  \bullet  \) Teorema 3. Si \( A  \) es subespacio de \( X \), y si \( B \) es subespacio de \( Y \), entonces la topología producto \( A\times  B \) es la misma que la topología que hereda como subespacio de \( X\times  Y \).

Demostración. Basta probar que las bases de ambas topologías sobre \( A\times B \) son iguales, y entonces más aún lo son sus topologías. Dejamos estas comprobaciones como ejercicio. Es fácil, pero hay que poner voluntad y escribirlo bien.


Cuando las cosas funcionan bien en matemáticas, uno se luce con un buen Teorema.
Cuando las cosas fallan, uno pone tantos contraejemplos como su imaginación le es capaz de proveer.
Los contraejemplos muestran la frontera entre lo posible y lo imposible, y por ende suelen tener tanta importancia como un Teorema.
Así que no subestimemos los contraejemplos, y mirémosles con sumo cariño.

Las relaciones entre topologías del orden y de subespacio ya no son armoniosas.
Así que tendremos que ilustrarlo con ejemplos y contraejemplos que nos exciten las neuronas para darnos experiencia a este respecto.

\(  \bullet  \) Ejemplo 1. Consideremos el conjunto \( Y=[0,1) \) con la topología de subespacio respecto la recta real \( \mathbb{R} \).
Una base de esta topología constará de todos los conjuntos de la forma \( (a,b)\cap Y \), siendo \( (a,b) \) intervalo abierto en \( \mathbb{R} \). Tales conjuntos son de los siguientes tipos:

\( (a,b)\cap Y =\begin{cases}
     (a,b), & \textsf{si\ } a,b\in Y\\
     [0,b), & \textsf{si solamente\ } b\in Y\\
     (a,1), & \textsf{si solamente\  } a\in Y\\
     Y\textsf{\ ó\ }\emptyset , & \textsf{en otro caso.}
\end{cases} \)

Cada uno de estos conjuntos es abierto en \( Y \).
Por otra parte, estos mismos conjuntos forman una base para la topología del orden en \( Y \). Comprobarlo.
En este Ejemplo, las topologías de subespacio y del orden son iguales.

\(  \bullet  \) Ejemplo 2. Sea \( Y \) el subconjunto \( Y=[0,1)\cup \{2\} \) de \( \mathbb{R} \).
En la topología de subespacio sobre \( Y \), el conjunto de un solo punto \( \{2\} \) es abierto porque se puede escribir como la intersección, por ejemplo, \( (3/2,5/2)\cap Y \).
Pero en la topología del orden el conjunto \( \{2\} \) no es abierto. Veamos por qué.
Todo elemento de la base de la topología del orden que contiene a \( b=2 \), tiene la forma \( \{x\in Y|a< x \leq 2\} \), con \( a\in Y, a< 2 \).
Todo conjunto de esta forma contiene siempre puntos de \( Y \) que son distintos de \( \{2\} \). Comprobarlo.
Pregunta: ¿Por qué es suficiente razonar de este modo sobre la base para asegurar que el conjunto analizado no es abierto?

Observación: Si nos fijamos con atención, el espacio \( [0,1)\cup \{2\} \) tiene el mismo tipo de orden que el conjunto \( [0,1] \). En general, en lo que concierne a topologías del orden, esto significará que las topologías de ambos conjuntos son equivalentes en algún sentido, que haremos más explícito en secciones posteriores.
Por ahora sólo rescatemos la "idea intuitiva" de equivalencia a este respecto.
Observemos por ejemplo que el tipo de orden del intervalo \( (-1,1) \) es el mismo que el de la recta real completa \( (-\infty ,+\infty ) \), e incluso que de cualquier intervalo de la forma \( (a,b) \) o \( (0,+\infty ) \) ó \( (-\infty ,0) \). Las topologías de orden serán, pues "equivalentes".
El conjunto de números naturales \( \{1,2,3,\cdots \} \) con la topología del orden tiene el mismo "comportamiento" que el conjunto \( \{1-1/n|n=1,2,3,\cdots\} \), y en general habrá una "equivalencia" con respecto a cualquier conjunto que contenga una sucesión estrictamente creciente de números reales..


\(  \bullet  \) Ejemplo 3. Sea \( I=[0,1] \). Consideremos sobre \( I\times  I \) la topología del orden de diccionario.
El orden en \( I\times I \) es la restricción del orden de diccionario de \( \mathbb R\times \mathbb R \) a \( I\times I \).
Sin embargo, la topología del orden de diccionario de \( I\times I \) no es la topología de subespacio de \( I\times I \) respecto la topología de orden de diccionario de \( \mathbb R\times \mathbb R \). Veamos por qué:
El conjunto \( \{1/2\}\times (1/2,1] \) es abierto en \( I\times I \) en la topología de subespacio (¿por qué?),
pero no es abierto en la topología del orden de diccionario. ¿Por qué? (Pista: observar qué le ocurre al punto \( {\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})} \)).
Ejercicio: Dibujar en el plano varios ejemplos de elementos de la base de las topologías subespacio y de orden de diccionario para el conjunto \( I\times I \).

Al conjunto \( I\times  I \) con la topología del orden de diccionario se le llamará cuadrado ordenado, y se la denotará como \( I^2_o \)

El comportamiento "bueno" o "malo" de los subconjuntos ordenados depende principalmente de una cierta propiedad de buena conexión de los conjuntos considerados. A esta propiedad Munkres la llama convexidad.
En geometría clásica, un conjunto es convexo si el segmento que une un par de puntos está contenido en el conjunto.
Aquí la idea es la misma, pero recordemos que un conjunto ordenado puede tener un tipo de orden bastante inusual (puntos aislados, lagunas, etc., etc.)
O sea que la generalización del concepto geométrico es muy grande.

\(  \bullet  \) Sea \( X \) un conjunto ordenado (siempre lineal y estrictamente). Decimos que un subconjunto \( Y \) de \( X \) es convexo si para todo par de puntos \( a, b\in Y \), con \( a< b \), se tiene que \( (a,b)\subset Y \).
Observar que todos los tipos de intervalos y de rayos son subconjuntos convexos de \( X \).

Nótese también que puede haber conjuntos convexos que sean o no abiertos o cerrados, o incluso ninguno de ambos.

Antes de continuar con el Teorema que nos interesa, veamos algunos ejercicios.
Supongamos que \( X \) es un conjunto ordenado (lineal y estrictamente),
que \( Y\subset X \) es un conjunto convexo en \( X \),
y que \( a\in X \).

\(  \bullet  \) Ejercicio. Demostrar que si \( a\in Y \), entonces

\( (a,+\infty )\cap Y=\{x\in Y|x>  a\}. \)

\(  \bullet  \) Ejercicio. Demostrar que si \( a\not\in Y \), entonces \( a \) es una cota inferior del conjunto \( Y \), o  bien es una cota superior de \( Y \). Usando esto, demostrar que en el primer caso \( (a,+\infty )\cap Y=Y \), y en el segundo caso \( (a,+\infty )\cap Y=\emptyset \).

En resumidas cuentas, la intersección \( (a,+\infty )\cap Y \) da un rayo en \( Y \), o bien todo \( Y \) o  bien \( \emptyset  \).
Lo mismo puede decirse de \( (-\infty ,a)\cap  Y \).

El estudio de las propiedades de los rayos es casi obvio que "viene con la intención" de usarlos en demostraciones que incluyen el concepto de subbase.
Dado que las subbases son en general familias de conjuntos más sencillos de describir, las pruebas se hacen más cortas y simples con su ayuda.

\(  \bullet  \) Teorema 4. Sea \( X \) un conjunto ordenado (lineal y estrictamente) con la topología del orden; sea \( Y\subset X \) convexo en \( X \). Entonces la topología del orden de \( Y \) coincide con la topología de subespacio de \( Y \) que hereda de \( X \).

Demostración. Como los conjuntos \( (-\infty ,a)\cap  Y \) y  \( (a,+\infty )\cap Y \) forman una subbase para la topología de subespacio de \( Y \) respecto \( X \), y como cada uno de ellos es abierto en la topología del orden se deduce que la topología del orden contiene (incluye) a la topología subespacio. ¿Por qué?

Ahora hay que demostrar la inclusión recíproca.

Todo rayo abierto en \( Y \) es igual a la intersección de \( Y \) con algún rayo abierto en \( X \). ¿Por qué?.
Por lo tanto, resulta abierto en la topología de subespacio sobre \( Y \).
Como estos rayos abiertos son una subbase para la topología del orden sobre \( Y \),
esta topología está contenida en la topología subespacio.

Q.E.D.

Ejercicios Sección 16

• Ejercicio 16.1 Mostrar que si \( Y \) es un subespacio de \( X \), y si \( A \) es un subconjunto de \( Y \), entonces la topología de \( A \) heredada como un subespacio de \( Y \) es la misma que la topología que hereda  como subespacio de \( X \).
  
  
• Ejercicio 16.2 Si \( \tau ,\tau' \), son dos topologías sobre \( X \), y si \( \tau ' \) es estrictamente más fina que \( \tau  \).
  ¿Qué se puede decir acerca de las correspondientes topologías de subespacio sobre los subconjuntos \( Y \) de \( X \)?
  
  
• Ejercicio 16.3 Considere el conjunto \( Y=[-1,1] \) como un subespacio de \( \mathbb R \).
  ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son abiertos en \( Y \)? ¿Cuales son abiertos en \( \mathbb R \)?
  
  
  \( \begin{align*}
     A &= \{x| \tfrac12 <  |x|<  1\},\\
     B &= \{x| \tfrac12 <  |x| \leq   1\},\\
     C &= \{x| \tfrac12  \leq   |x|<  1\},\\
     D &= \{x| \tfrac12  \leq   |x| \leq   1\},\\
     E &= \{x| 0  |x|<  1, 1/x\not\in \mathbb Z_+\}.
  \end{align*} \)
  
  
• Ejercicio 16.4 Una función \( f:X\to Y \) se dice que es una función abierta o un mapeo abierto o una aplicación abierta, si para todo conjunto abierto \( U\subset X \), el conjunto \( f(U) \) es abierto en \( Y \).
  Mostrar que \( \pi _1:X\times Y \) y \( \pi_2:X\times Y\to Y \) son funciones abiertas.
  
  
• Ejercicio 16.5 Denotemos con \( X, X' \) ciertos conjuntos que pertenecen a las topologías \( \tau ,\tau ' \), respectivamente.
  Denotemos con \( Y,Y' \) ciertos conjuntos que pertenecen a las topologías \( \mathcal{U},\mathcal{U}' \), respectivamente.
  Asumamos que estos conjuntos son no vacíos.
  
  
  • (a) Mostrar que si \( \tau'\supset \tau  \) y \( \mathcal{U}'\supset \mathcal{U} \), entonces la topología producto sobre \( X'\times Y' \) es más fina que la topología producto sobre \( X\times  Y \).
    
    
  • (b) ¿Es cierta la recíproca de la parte (a)? Justifique.
    
    
  
  
• Ejercicio 16.6 Muestre que la colección numerable
  
  
  \( \{(a,b)\times (c,d)\;|\;a< b,\;c< d,\quad a,b,c,d \textsf{\ racionales}\} \)
  
  es una base para \( \mathbb R^2 \).
  
  
• Ejercicio 16.7 Sea \( X \) un conjunto ordenado (lineal y estrictamente).
  Si \( Y \) es un subconjunto propio de \( X \), que además es convexo en \( X \),
  ¿se sigue que \( Y \) es un intervalo o un rayo en \( X \)?
  
  
• Ejercicio 16.8 Si \( L \) es una línea recta en el plano, describa la topología que \( L \) hereda como un subespacio de \( \mathbb R_\ell \times \mathbb R \),
  y luego como un subespacio de \( \mathbb R_\ell \times \mathbb R_\ell  \).
  En cada caso es una topología familiar.
  
  
• Ejercicio 16.9 Mostrar que la topología del orden de diccionario sobre el conjunto \( \mathbb R\times \mathbb R \) es la misma que la topología producto \( \mathbb R_d \times \mathbb R \), donde \( \mathbb R_d \) denota a \( \mathbb R \) con la topología discreta.
  Compare esta topología con la topología estándar de \( \mathbb R^2 \).
  
  
• Ejercicio 16.10 Sea \( I=[0,1] \).
  Compare la topología producto sobre \( I\times I \),
  la topología del orden de diccionario sobre \( I\times I \),
  y la topología que \( I\times  I \) hereda como subespacio de \( \mathbb R\times \mathbb R \) en la topología del oden de diccionario.
  
  

(quizá más adelante agregue algunos comentarios sobre estos ejercicios...)

[cerrar]

Buenaventura a todos


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[argentinator]

Sección 17. Conjuntos Cerrados y Puntos Límite.

La topología comienza a hacerse útil cuando aparecen las nociones de convergencia, o sea, cuando se estudia en profundida el concepto de límite.
Algo tan simple de definir como los conjuntos cerrados hallan aquí su sentido pleno en la teoría.


\(   \bullet \) Definición. En un espacio topológico \( X \), un conjunto \( A \) se dice cerrado, si su complemento \( X-A \) es abierto (o sea, es complementario de un miembro de la topología en cuestión).

\(  \bullet \) Ejemplo 1. Se deja como ejercicio demostrar que en la topología estándar de \( \mathbb R \) los intervalos de la forma \( [a,b] \), \( (-\infty,a] \) son conjuntos cerrados, mientras que los intervalos de la forma \( [a,b) \) no es ni abierto ni cerrado.

\(  \bullet \) Ejemplo 2. Como ejercicio se pide demostrar que en el plano \( \mathbb R^2 \), el conjunto \( \{(x,y)|x \geq0,y \geq 0\} \) es cerrado.

\(  \bullet \) Ejemplo 3. En un conjunto cualquiera \( X \), con la topología de los complementos finitos, todos los conjuntos cerrados serían el mismo \( X \) y además los conjuntos finitos.

\(  \bullet \) Ejemplo 4. En la topología discreta sobre un conjunto X, todo conjunto es cerrado. ¿Por qué?

\(  \bullet \) Ejemplo 5. Considérese el subconjunto de \( \mathbb R \) definido por \( Y=[0,1]\cup(2,3) \), dotado de la topología del subespacio. ¿Los conjuntos \( [0,1] \) y \( (2,3) \) son abiertos en \( Y \)? ¿Son cerrados en \( Y \)? ¿Por qué?

La moraleja de estos ejemplos es que en un espacio topológico hay conjuntos que pueden ser abiertos, o bien cerrados, o bien ambos a la vez, o bien ninguno de los dos.
Más adelante veremos que en \( \mathbb R \) los únicos conjuntos que pueden ser al mismo tiempo abiertos y cerrados son los triviales: \( \emptyset \) y \( \mathbb R \).
Sin embargo, como muestra el Ejemplo 5, aún en este caso, al pasar a subespacios esta propiedad podría perderse, y obtener así topologías de subespacio que tuviesen varios conjuntos abiertos y cerrados al mismo tiempo.
O sea que esta propiedad no sería "hereditaria".


Tengamos claro al menos que en todo espacio topológico \( X \) los conjuntos \( \emptyset \) y \( X \) son ambos abiertos y cerrados al mismo tiempo.

• Teorema 1. (Propiedades de los conjuntos cerrados) Sea \( X \) un espacio topológico. Entonces:
  
  
  • (1) \( \emptyset \) y \( X \) son cerrados.
    
  • (2) La intersección de una familia arbitraria de conjuntos cerrados da un conjunto cerrado.
    
  • (3) La unión de una familia finita de conjuntos cerrados da un conjunto cerrado.
    
  
  La demostración de estos hechos es una rutina sencilla, y se deja como ejercicio.
  

\(  \bullet \) Supóngase que se tiene una familia \( \mathcal F \) de subconjuntos de \( X \) con las propiedades (1), (2) y (3) del párrafo anterior, pero que nadie nos ha indicado que tienen algo que ver con alguna topología de \( X \). ¿Cómo construir una topología en \( X \) de tal manera que los elementos de \( \mathcal F \) se conviertan luego en los "cerrados" de dicha topología? O sea, ¿cómo se definirían los abiertos de una tal topología?.

\(  \bullet \) Si \( Y \) es subespacio de \( X \) se dice que \( A \) es cerrado en \( Y \) si \( A\subset Y \) y además \( Y-A \) es abierto en la topología de subespacio de \( Y \).


\(  \bullet  \) Teorema 2. Sea \( Y \) un subespacio de \( X \). Entonces un conjunto \( A \) es cerrado en \( Y \) si, y sólo si, es igual a la intersección de un conjunto cerrado de \( X \) con \( Y \).

Demostración: Ejercicio. (Durante la prueba, haga referencia constantemente a que un conjunto cerrado es complementario de un abierto, y aplique las definiciones de abierto y abierto relativo).

\(  \bullet  \) Teorema 3. Sea \( Y \) un subespacio de \( X \). Si \( A \) es cerrado en \( Y \) e \( Y \) es cerrado en \( X \), entonces \( A \) es cerrado en \( X \).

Demostración.  Ejercicio.


Clausura e interior de un conjunto

\(  \bullet  \) Dado un subconjunto \( A \) de un espacio topológico \( X \), se definen el interior de \( A \), denotado \( Int(A) \), y la clausura de \( A \), denotada \( \bar A \), como los conjuntos siguientes:

• \( Int(A)=\bigcup\{U|U\subset  A,U\textsf{\ es abierto en\ }X\} \)
• \( \bar A=\bigcap\{F|F\supset  A, F\textsf{\ es cerrado en\ }X\} \)

Es muy sencillo verificar que \( Int(A) \) es un conjunto abierto, y que \( \bar A \) es un conjunto cerrado. Además:

\( Int(A)\subset  A\subset \bar A. \)

Claramente, si \( A \) es abierto entonces \( A=Int(A) \), y si \( A \) es cerrado entonces \( A=\bar A \).

En general, si \( Y \) es subespacio de \( X \), y \( A\subset  Y \), la clausura de \( A \) en \( Y \) será diferente de la clausura de \( A \) en \( X \).
En este caso se tomará la convención de que \( \bar A \) denota siempre la clausura en el espacio mayor \( X \).

\(  \bullet  \) Teorema 4. Sean \( Y \) subespacio de \( X \), y \( A\subset  Y \). Entonces \( \bar A \), la clausura de \( A \) en \( Y \) es igual a \( \bar A\cap  Y \).

Demostración. Ejercicio.  (Usar las definiciones de cada cosa, y aprovechar el Teorema 2.)

Ahora sigue una caracterización de clausuras en términos de bases.

\(  \bullet  \) Se dice que un conjunto \( A \) interseca (o corta) a un conjunto \( B \) si \( A\cap B\neq \emptyset  \).

\(  \bullet  \) Teorema 5. Sea \( A \) un subconjunto del espacio topológico \( X \). Entonces:

• (a) \( x\in \bar A \) si, y sólo si, cada conjunto abierto \( U \) que contiene a \( x \) interseca a \( A \).
• (b) Suponiendo que la topología de \( X \) está dada por una base, entonces \( x\in \bar A \) si, y sólo si, cada elemento \( B \) de la base que contiene a \( x \) interseca a \( A \).

Demostración

(a) Si \( x\not\in A \), el conjunto \( U=X-\bar A \) es abierto, contiene a \( x \), y no interseca \( A \).
Recíprocamente, si hubiera un un abierto \( U\ni x \) que no interseca \( A \), entonces \( X-U \) es cerrado y \( X-U\supset A \).
Por definición de clausura, \( X-U\supset\bar A \), luego \( x\not\in \bar A \).

(b) (Ejercicio).

[cerrar]

\(  \bullet  \) Usaremos la convención de decir que \( U \) es un entorno de \( x \) como sinónimo de la frase \( U \) es un conjunto abierto que contiene a \( x \).

Hay textos que usan la palabra “entorno” para referirse a un conjunto arbitrario que contiene a algún abierto que a su vez contiene a \( x \), y para el caso específico en que el “entorno” sea además un conjunto abierto, se usa la terminología “entorno abierto”.
Nosotros vamos a respetar el uso de Munkres de la palabra “entorno”, lo cual trae como consecuencia que todas las demostraciones involucran “entornos abiertos”.
En general se tiene la suerte de que las cosas no varían mucho entre un uso y otro del término. Así que esto no es mayor problema.
No obstante, aunque todos los “entornos” del Munkres serán “abiertos”, nosotros procuraremos recordarlo cada vez que aparezca la palabra “entorno”, poniendo la palabra “abierto” entre paréntesis. Puede ser pesado, pero…


\(  \bullet  \) Ejemplo 6. Sea \( X=\mathbb{R} \). Si \( A=(0,1] \) entonces \( \bar A=[0,1] \) (¿por qué?).
Si \( B=\{1/n|n\in\mathbb{Z}_+\} \), entonces \( \bar B=\{0\}\cup B \).
Si \( C=\{0\}\cup(1,2) \) entonces \( \bar C=\{0\}\cup[1,2] \).
Si \( \mathbb{Q} \) es el conjunto de los números racionales, entonces \( \bar{ \mathbb{Q}}=\mathbb{R} \).
Si \( \mathbb{Z}_+ \) es el conjunto de enteros positivos, entonces \( \bar{\mathbb{Z}}_+=\mathbb{Z}_+ \).
Si \( \mathbb{R}_+ \) es el conjunto de reales positivos, entonces la clausura de \( \mathbb{R}_+ \) es \( \mathbb{R}_+\cup\{0\} \).


\(  \bullet  \) Ejemplo 7. Considere el subespacio \( Y=(0,1] \) de \( \mathbb{R} \).
El conjunto \( A=(0,1/2) \) es subconjunto de \( Y \);
su clausura en \( \mathbb{R} \) es \( [0,1/2] \),
y su clausura en \( Y \) es el conjunto \( [0,1/2]\cap Y=(0,1/2] \).





Puntos límite

Consideremos cierto espacio topológico \( X \).
Sea \( A \) un conjunto en dicho espacio, y sea \( x \) un punto cualquiera de \( X \).
Decimos que \( x \) es un punto límite (o punto de acumulación) de \( A \) si \( x \) pertenece a la clausura de \( A-\{x\} \).
Puede que el punto \( x \) esté o no en \( A \).

Ejemplo 8. Consideremos en \( \mathbb{R} \) el conjunto \( A=(0,1] \). El punto \( 0 \) es punto límite de \( A \), y también lo es cada punto del intervalo \( (0,1] \). Ningún otro punto de \( \mathbb{R} \) es punto límite de \( A \).
Si \( B=\{1/n|n\in\mathbb{Z}_+\} \), entonces 0 es el único punto límite de \( B \). (verificarlo).
Si \( C=\{0\}\cup(1,2) \), los puntos límite de \( C \) son los puntos del intervalo \( [1,2] \).
Todo punto de \( \mathbb{R} \) es punto límite de \( \mathbb{Q} \).
Ningún punto de \( \mathbb{R} \) es punto límite de \( \mathbb{Z}_+ \).
¿Cuáles son los puntos límite de \( \mathbb{R}_+ \)?.

\(  \bullet  \) Teorema 6. Sea \( A \) un subconjunto de un espacio topológico \( X \); sea \( A'  \) el conjunto de todos los puntos límite de \( A \). Entonces

\( \bar A=A\cup A'. \)

Demostración

Si \( x\in A' \), todo entorno de \( x \) interseca \( A \) (en un punto diferente de \( x \)).
Por Teorema 5, \( x\in \bar A \), luego \( A'\subset \bar A \).
Como \( A\subset \bar A \), se sigue que \( A\cup A' \subset\bar A \).

Sea \( x\in \bar A \). Debemos probar que \( x\in A\cup A' \).
Si \( x\not\in A \), entonces todo entorno \( U \) de \( x \) interseca \( A \); pero como \( x\not\in A \), el conjunto \( U \) debe intersecar a \( A \) en un punto distinto de \( x \). Luego \( x\in A\subsetA\cup A' \).

[cerrar]

\(  \bullet  \) Corolario 7. Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado sii contiene a todos sus puntos límite.

Demostración: Ejercicio.


Espacios de Hausdorff

En \( \mathbb{R} \) o más aún en \( \mathbb{R}^n \), todos los conjuntos formados por un solo punto \( \{x_0\} \) son cerrados. (comprobarlo)

Sin embargo, en el conjunto \( X=\{a,b,c\} \) con la topología \( \tau=\{\emptyset,X,\{a,b\},\{b\},\{b,c\}\} \), tenemos por ejemplo que el conjunto \( \{b\} \) no es cerrado porque su complemento \( \{a,c\} \) no es abierto (o sea, no es un elemento de \( \tau \)).

Los espacios topológicos cuyos puntos no son cerrados... son muy extraños matemáticamente, y se considera que tienen poca utilidad.
Sin embargo nunca se sabe si pueda surgir algún ejemplo interesante, y además, como tales espacios topológicos existen... hay que tenerlos en cuenta para no tropezar en las demostraciones con "creencias erróneas", o sea "hipótesis implícitas" o "inconcientes", tal como le ocurría a Euclides.

\(  \bullet \) Un espacio topológico \( X \) tal que cada uno de sus puntos es un conjunto cerrado, se dice que satisface el axioma \( T_1 \).

-----------------

Por otro lado, puede que en un espacio topológico haya (sucesiones) (o redes) que converjan a más de un punto.

Recordemos que en \( \mathbb{R} \) o en \( \mathbb{R}^n \) una sucesión, cuando tiene la suerte de converger, lo hace hacia un solo punto,  Luego esto permite decir que la operación de tomar límites está bien definida, debido a que hay un solo valor posible como límite.

Pero debemos recordar que en espacios topológicos generales la convergencia podría comportarse de otro modo.
Esto también es extraño matemáticamente, y en general se procura evitar topologías con sucesiones o redes que converjan a más de un punto.

Los espacios topológicos que se comportan de modo "agradable" respecto a la convergencia son exactamente los llamados espacios de Hausdorff, los cuales definimos a continuación:

\(  \bullet \) Definición. Un espacio topológico \( X \) se llama un espacio de Hausdorff si para cada par de puntos distintos \( x_1,x_2\in X \), existen entornos \( U_1\ni x_1 \), \( U_2\ni x_2 \), que son disjuntos, o sea: \( U_1\cap U_2=\emptyset \).

\(  \bullet \) Teorema 8. En un espacio de Hausdorff \( X \), todo conjunto finito es cerrado.

Demostración

...

[cerrar]

\(  \bullet \) Teorema 9. Sea \( X \) un espacio topológico que satisface el axioma \( T_1 \); sea \( A \) un subconjunto de \( X \). Entonces el punto \( x \) es un punto límite de \( A \) sii todo entorno de \( x \) contiene infinitos puntos de \( A \).

Demostración

...

[cerrar]

\(  \bullet \) Teorema 10. Si \( X \) es un espacio de Hausdorff entonces toda sucesión de puntos en \( X \) puede converger a lo sumo a un punto de \( X \).

Demostración

...

[cerrar]

• Teorema 11. Todo conjunto (totalmente) ordenado es un espacio de Hausdorff con la topología del orden.
  El producto (cartesiano) de dos espacios de Hausdorff es un espacio de Hausdorff.
  Un subespacio de Hausdorff es un espacio de Hausdorff.
  

Demostración

(...)

[cerrar]

En Topología General son importantes ciertas condiciones que nos dan espacios topológicos en los que pueden probarse Teoremas más fuertes que en el caso completamente general. En este sentido, nombremos los tipos de propiedades que comunmente se estudian:

• Axiomas de Separación.
• Axiomas de Numerabilidad.
• Condiciones de Compacidad.
• Condiciones de Conexión.

Los Axiomas \( T_1 \) y de Hausdorff son Axiomas de Separación. Hay varios más.
Todo esto se estudiará en las secciones que siguen.

Ejercicios Sección 17

• Ejercicio 17.1. Sea \( \mathcal{C} \) una colección de subconjuntos de \( X \). Supongamos que \( \emptyset \) y \( X \) están en \( \mathcal{C} \), y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de elementos de \( \mathcal{C} \) están en \( \mathcal{C} \). Pruebe que la colección
  
  
  \( \tau=\{X-C|C\in{\mathcal{C}}\} \)
  
  es una topología sobre \( X \).
  
• Ejercicio 17.2. Pruebe que si \( A \) es cerrado en \( Y \) e \( Y \) es cerrado en \( X \), entonces \( A \) es cerrado en \( X \).
  
• Ejercicio 17.3. Pruebe que si \( A \) es cerrado en \( X \) y \( B \) es cerrado en \( Y \), entonces \( A\times{B} \) es cerrado en \( X\times{Y} \).
• Ejercicio 17.4. Pruebe que si \( U \) es abierto en \( X \) y \( A \) es cerrado en \( X \), entonces \( U-A \) es abierto en \( X \) y \( A-U \) es cerrado en \( X \).
• Ejercicio 17.5. Sea \( X \) un conjunto ordenado con la topología del orden. Muestre que \( \overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]} \). ¿Bajo qué condiciones se cumple la igualdad?
  
• Ejercicio 17.6 Denotemos por \( A,B \) y\( A_\alpha \) a subconjuntos del espacio \( X \). Pruebe lo siguiente:
  (a) Si \( A\subseteq{B} \), entonces \( \overline{A}\subseteq{\overline{B}} \).
  (b) \( \overline{A\cup B}=\overline{A}\cup \overline{B} \).
  (c) \( \bigcup \overline{A}_\alpha\subset{\overline{\bigcup A_\alpha}} \); dé un ejemplo donde no se cumpla la igualdad.
  
• Ejercicio 17.7 Discuta la siguiente "prueba" de que \( \overline{\bigcup A_\alpha}\subset{\bigcup \overline{A_\alpha}} \): si \( \{A_\alpha\} \) es una colección de conjuntos de \( X \) y si \( x\in{\overline{\bigcup A_\alpha}} \), entonces cada entorno \( U \) de \( x \) interseca a \( \bigcup A_\alpha \). Así, \( U \) debe intersecar a algún \( A_\alpha \), por lo que \( x \) debe pertenecer a la clausura de algún \( A_\alpha \). Por consiguiente, \( x\in{\bigcup A_\alpha} \).
  
• Ejercicio 17.8. Denotemos por \( A \), \( B \) y \( A_\alpha \) a subconjuntos del espacio \( X \). Determine si las siguientes ecuaciones se cumplen; si una igualdad es falsa, determine si una de las inclusiones \( \supset{} \) o \( \subset{} \) se cumple.
  
  (1) \( \overline{A\cap B}=\overline{A}\cap \overline{B} \).
  
  (2) \( \overline{\displaystyle\bigcap A_\alpha}=\displaystyle\bigcap \overline{A_\alpha} \).
  
  (3) \( \overline{A-B}=\overline{A}-\overline{B} \).
  
• Ejercicio 17.9. Sean \( A\subset{X} \) y \( B\subset{Y} \). Pruebe que en el espacio \( X\times{Y} \),
  
  
  \( \overline{A\times B}=\overline{A}\times \overline{B} \).
  
  
• Ejercicio 17.10. Pruebe que cada topología del orden es Hausdorff.
• Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
• Ejercicio 17.12. Pruebe que un subespacio de un espacio de Hausdorff es de Hausdorff.
• Ejercicio 17.13. Pruebe que si \( X \) es de Hausdorff si, y sólo si, la diagonal \( \triangle=\{(x,x)|x\in{X}\} \) es cerrada en \( X\times X \).
  
• Ejercicio 17.14.
  
• Ejercicio 17.15.
  
• Ejercicio 17.16.
  
• Ejercicio 17.17.
  
• Ejercicio 17.18.
  
• Ejercicio 17.19.
  
• Ejercicio 17.20.
  
• Ejercicio 17.21.
  

[cerrar]

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