Buenas tardes,
Este es un mensaje dirigido a Carlos Ivorra y Fernando Revilla, asi como a cualquier otro miembro del foro titulado en matematicas.
La cuestion que dirimimos en este post, es muy importante para varios alumnos, puesto que con ella nos jugamos el aprobado o el suspenso en la asignatura. Como prevemos que el coordinador de la misma, no parece que se tenga intencion de rectificar, y parece que vamos a tener que reclamar formalmente una revision del examen, queria pediros amablemente a ver si alguno de vosotros, que teneis "galones" en la materia nos podria echar una mano. Seria de gran utilidad si nos redactarais un documento que justifique que la relacion de la que hablamos, \( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \), teniendo en consideracion lo que el profesor utiliza como argumento: que como la relacion esta definida en N, la resta no esta deefinida y es una relacion vacia y por tanto no es de orden
Como te ha dicho Fernando, este hilo es público y puedes acceder y hacer referencia a él siempre que quieras. Resumo la situación:
La pregunta constaba de cuatro relaciones definidas en \( \mathbb N \) y una de ellas rezaba:
\( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \)
La pregunta era señalar las relaciones que eran de orden y esta concretamente, se ha corregido como "no es una relación de orden". Todos los que conozco hemos pensado que sí era efectivamente de orden, sobre todo teniendo en cuenta que otra relación era:
\( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2=k+n^2 \),
y esta sí es de orden,
Afirmo que lo anterior son dos formas equivalentes de definir la misma relación, así que, si no se cuestiona que la segunda es de orden, tampoco es necesario detallar la prueba de que la primera lo es, porque es la misma, a lo sumo con cambios mínimos para ajustarse a la definición correspondiente, o ni siquiera eso si empezamos así:
\( nRm \) si y solo si (por definición) \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \) si y sólo si (por álgebra elemental) \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2=k+n^2 \).
Y a partir de aquí, si aceptamos que la "segunda" (entre comillas porque es la misma que la primera) es una relación de orden tenemos que la "primera" también lo es.
pero el profesor ha respondido que la primera es la relación vacía pues la resta no está definida en \( \mathbb N \).
Ante esto afirmo: 1) que la primera relación
no es vacía, pues, por ejemplo, se cumple que \( 2\,R\,3 \), ya que, por definición, esto equivale a \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( 3^2-2^2=k \), que podemos comprbar que se cumple sin más que tomar \( k=5 \).
2) El hecho de que "la resta no está definida en \( \mathbb N \) habrá que entenderlo como que no es una aplicación \( \mathbb N^2\longrightarrow \mathbb N \), pero sí que es una aplicación \( r:\mathbb N^2\longrightarrow \mathbb Z \), definida en \( \mathbb N \) con valores en \( \mathbb Z \).
Pretender que no se puede definir una relación en un conjunto usando una aplicación que toma valores en otro conjunto, aparte de ser una arbitrariedad sin justificación posible, contradice de lleno la práctica matemática habitual. De hecho, dada una aplicación cualquiera \( f:A\longrightarrow B \), es algo completamente estándar definir una relación en \( A \) mediante
\( x\,R\,y \) si y sólo si \( f(x)=f(y) \),
lo cual estaría "prohibido" si tuviéramos que abstenernos de hacerlo por el hecho de que \( f \) no toma valores en \( A \) (en el caso en que \( A \) y \( B \) sean conjuntos disjuntos).
El argumento utilizado por el profesor es que -n no pertenece a los naturales, y personalmente por más vueltas que le doy no le veo ningún sentido.
En efecto, \( -n \) no pertenece a los naturales y, en el ejemplo precedente, \( f(x) \) no pertenece a \( A \) (si \( A \) es disjunto de \( B \)), y eso no impide usar \( f \) para definir una relación \( R \) en \( A \), por ejemplo, como se hace habitualmente para biyectar el cociente \( A/R \) con la imagen de \( f \) y así descomponer canónicamente una aplicación en composición de una aplicación suprayectiva seguida de otra inyectiva.
En resumen: yo, Carlos Ivorra, doctor en matemáticas en la especialidad de álgebra, habría respondido a esa pregunta afirmando sin lugar a dudas que la relación propuesta es una relación de orden, y si el examen se hubiera reducido a esa pregunta y el criterio de corrección hubiera sido el que aquí se está denunciando, lo habría suspendido, y lo volvería a suspender mil veces si me volvieran a preguntar lo mismo y prevaleciera en mí el criterio de responder lo correcto en lugar del de adaptarme al criterio del corrector.
Entiendo que este resumen expresa el mismo criterio que ya han expresado en otros mensajes Luis Fuentes y Fernando Revilla, ambos matemáticos con una amplia experiencia en la enseñanza universitaria más que suficiente para reconsiderar el criterio de corrección de una pregunta de una asignatura de primero que también les habría hecho suspender el examen si de ella sola hubiera dependido.
Aun en el supuesto inconcebible de que estuviéramos equivocados en nuestro criterio, habría que plantearse cómo se les puede exigir a unos alumnos de primer curso que respondan "correctamente" a una pregunta que varios profesores con amplia experiencia responderían "incorrectamente" y se reafirmarían en su respuesta "incorrecta" tras haber considerado los argumentos del corrector.
