[GaToMi]

Fuente: Prueba de Clasificación 1990, Chile

Encuentre todos los naturales \( n \) tales que \( \displaystyle\frac{n+81}{2n-5} \) es un número natural.

[Luis Fuentes]

Hola

Fuente: Prueba de Clasificación 1990, Chile

Encuentre todos los naturales \( n \) tales que \( \displaystyle\frac{n+81}{2n-5} \) es un número natural.

Spoiler

Una condición necesaria es que su doble sea también natural. Pero:

\( 2M=\dfrac{2(n+81)}{2n-5}=\dfrac{2n+162}{2n-5}=1+\dfrac{167}{2n-5} \)

Entonces \( 2n-5 \) ha de ser divisor de \( 167 \). Pero éste es primo, luego hay cuatro opciones:

\( 2n-5=167 \) de donde \( n=86 \) y \( 2M=2 \), luego \( M=1 \).
\( 2n-5=1 \) de donde \( n=3 \) y \( 2M=168 \), luego \( M=84 \).

\( 2n-5=-1 \) de donde \( n=2 \) y \( 2M=0 \), luego \( M=0 \); pero no es natural entonces.
\( 2n-5=-167 \) de donde \( n<0 \) y no es natural entonces.

Las dos soluciones son \( n=3,86 \).

[cerrar]

Saludos.

[GaToMi]

Genial, hice algo parecido, aunque no consideré los divisores negativos, se me pasó.

Gracias

[dAnielfr]

UU Esta se ve muy complejo como le hace sacar esos números naturales.

[filomates]

¿Se podrá aplicar el mismo método a otros casos? Por ejemplo a encontrar todos los números naturales tales que \(  \displaystyle\frac{4n+3}{5n-10}  \) sea entero.
Aquí pongo una respuesta. (Antes de mirar, mejor pensar un poco)

Spoiler

Puede parecer un "truco" sacado de la chistera del mago matemático decir  que si \( M=\displaystyle\frac{n+81}{2n-5} \) debe ser entero, entonces \( 2M \) será también entero. Pero es un método muy general. Imaginemos que nos dicen que calculemos los valores narurales de \( n \) para que \( M = \displaystyle\frac{an+b}{cn+d} \) sea un número entero, siendo \( a, b, c, d \) números enteros cualesquiera. Entonces, de la misma manera que antes, se puede razonar que si \( M \) es entero, entonces \( cM=\displaystyle\frac{can+cb}{cn+d} \) también es entero. Al hacer la división sale cociente \( a \) y resto \( cb-ad \), es decir \( \displaystyle\frac{can+cb}{cn+d}=a+\displaystyle\frac{cb-ad}{cn+d} \) y lo que tiene que ocurrir es que \( cn+d \)tiene que ser divisor de \( cb-ad \). Éste último es un número entero, y tendrá un número finito de divisores. Vamos probando valores de \( n \) hasta que \( cn+d \) se salga del intervalo entre el menor y el mayor de los divisores de \( cb-ad \). En este proceso encontramos todos los valores de \( n \) buscados.
Como ejemplo, podemos buscar todos los valores naturales de n para los cuales \( \displaystyle\frac{4n+3}{5n-10} \) sea un número natural.En este caso \( a=4, \;b=3\;c=5\;d=-10 \).Los divisores de \( cb-ad=55 \) son 1,5, 11, 55 y sus negativos y los valores de n candidatos que hacen que \( 5n-10 \) coincida con alguno de esos números son 1, 3, 13. Probando esos números en la expresión \( \displaystyle\frac{4n+3}{5n-10} \) quedan 3 y 13, que son las

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

¿Se podrá aplicar el mismo método a otros casos? Por ejemplo a encontrar todos los números naturales tales que \(  \displaystyle\frac{4n+3}{5n-10}  \) sea entero.
Aquí pongo una respuesta. (Antes de mirar, mejor pensar un poco)

Spoiler

Puede parecer un "truco" sacado de la chistera del mago matemático decir  que si \( M=\displaystyle\frac{n+81}{2n-5} \) debe ser entero, entonces \( 2M \) será también entero. Pero es un método muy general. Imaginemos que nos dicen que calculemos los valores narurales de \( n \) para que \( M = \displaystyle\frac{an+b}{cn+d} \) sea un número entero, siendo \( a, b, c, d \) números enteros cualesquiera. Entonces, de la misma manera que antes, se puede razonar que si \( M \) es entero, entonces \( cM=\displaystyle\frac{can+cb}{cn+d} \) también es entero. Al hacer la división sale cociente \( a \) y resto \( cb-ad \), es decir \( \displaystyle\frac{can+cb}{cn+d}=a+\displaystyle\frac{cb-ad}{cn+d} \) y lo que tiene que ocurrir es que \( cn+d \)tiene que ser divisor de \( cb-ad \). Éste último es un número entero, y tendrá un número finito de divisores. Vamos probando valores de \( n \) hasta que \( cn+d \) se salga del intervalo entre el menor y el mayor de los divisores de \( cb-ad \). En este proceso encontramos todos los valores de \( n \) buscados.
Como ejemplo, podemos buscar todos los valores naturales de n para los cuales \( \displaystyle\frac{4n+3}{5n-10} \) sea un número natural.En este caso \( a=4, \;b=3\;c=5\;d=-10 \).Los divisores de \( cb-ad=55 \) son 1,5, 11, 55 y sus negativos y los valores de n candidatos que hacen que \( 5n-10 \) coincida con alguno de esos números son 1, 3, 13. Probando esos números en la expresión \( \displaystyle\frac{4n+3}{5n-10} \) quedan 3 y 13, que son las

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¡Si, claro! La idea es generalizable en la forma que dices. Se podría incluso en lugar de multiplicar por \( c \), multiplicar por \( c/mcd(a,c) \).

Saludos.