La expresión asintótica de Stirling es \( n!\sim_\infty\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}e\right)^n \). Y usando el test de la raíz queda
\( \displaystyle \sqrt[n]{ \frac{n^{2n}}{3^n(2n)!} }=\frac{n^2}{3\sqrt[n]{(2n)!}}\sim_\infty\frac{n^2}3\cdot\frac{e}{n}\cdot\left(\frac1{\sqrt[n]{2\pi n}}\right)^{1/2}\sim_\infty n\cdot\frac{e}3\to\infty \)
ya que \( \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a n}=1 \) para todo \( a>0 \).