Además, todavía no me importa llegar al tema de la optimización. Aún si el primer paso es ingresar el \( h \) tienes automáticamente los \( y_i \), pero no sus pesos (la diferencia de los \( w()-w() \)) y para saber cuál aplica tienes que analizar en cuál región cae, para eso tienes que ver los puntos de cortes de las rectas que son como máximo \( \displaystyle\frac{n(n-1)}{2} \).

Hola, el ejercicio que les presento no he podido resolverlo, no sé de qué manera iniciar.

  (4)  Use la regla compuesta de Simpson con n = 4,6,8….,  hasta que las aproximaciones sucesivas de las siguientes integrales concuerden con una exactitud de \( 10^{-6} \) . Determine la cantidad de nodos que se requieren. Mediante el algoritmo de la cuadratura adaptativa aproxime la integral con una exactitud de \( 10^{-6} \) y cuente el número de nodos. ¿Produjo alguna mejora la cuadratura adaptativa?
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi}Sen x^2dx \) y la integral \( \displaystyle\int_{0}^{\pi}x^2cos(x)dx \) graficar y hacer un análisis para cada valor de n.

Se me ocurre que de todas maneras no es uniforme? Pues si considero \( \mathbb{R} - (-k,k) \) con \( k>0 \) no es continua, pues vemos que dependiendo de si \( x>k \) o \( x<-k \), la función \( f(x) \) converge a \( \frac{\pi}{2} \) y \( -\frac{\pi}{2} \). Soy nuevo en este tema, cualquier ayuda o corrección será bienvenida.
¡Gracias!

Pero h no depende de n.

Lo que dices es claro, dado un punto \( p\in \mathbb{S}^2 \) podemos considerar el plano \( \langle v, p \rangle = 0 \) que pasa por el origen y tiene a \( p \) como vector normal, ahora, si consideramos sus trasladados \( \langle v+v_0, p \rangle = 0 \), alguno de estos debe dividir a \( A_1 \) en dos volúmenes iguales (por un tema de continuidad).

Una vez tenemos ese plano, llamémosle \( \pi_p \) (observemos que tenemos \( \pi_{p}=\pi_{-p} \)), podemos ahora considerar la función \( f:\mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}^2 \) que a cada punto \( p \) le asigna el vector cuya coordenada \( i \) es el volumen de \( A_i \) en el semiespacio determinado por \( \pi_p \) en sentido a su vector normal \( p \) (con \( i=2,3 \)).

Ahora, si \( f \) resultase continua, por el teorema de Borsuk-Ulam existiría un punto \( p_0 \) de forma que \( f(p_0)=f(-p_0) \) y esto implica que el plano \( \pi_{p_0} \) verifica lo que queríamos, es decir, divide a cada \( A_i \) en partes de igual volumen (usando que \( \pi_p= \pi_{-p} \) y que por ende consideramos los volúmenes en ambos semiespacios determinados por \( \pi_p \)).

Ahora, para ver la continuidad de \( f \), no espero que exista una formula para la misma, pero al menos pienso que a pequeños movimientos de \( p \) resultan en pequeños movimientos de \( \pi_p \) lo cual nos daría pequeñas variaciones en los volúmenes que consideramos.

¿Es correcto este acercamiento intuitivo? ¿Se puede justificar un poco más la continuidad de \( f \)?

Respecto a si tiene mínimo en \( \Bbb N\times \Bbb N \), la respuesta sería no, ¿verdad? Pues, tome \( (x, y)\in \Bbb N\times \Bbb N. \) Entonces, \( (x, y+1) < (x, y) \) porque \( x - (y+1) < x - y \).

Y en esa región son todos mínimos por ende no tiene min.

El ejercicio es el siguiente:

De un grupo de 6 mujeres y 4 hombres se deben elegir 3 personas para que los representen en tres congresos a desarrollarse en mayo, junio y septiembre.
a) Suponiendo que una persona puede ir a más de un congreso,  calcular la probabilidad de que :
     i) a los dos primeros congresos vayan mujeres.
     ii) a los dos primeros congresos vayan mujeres y al tercero un hombre.
    iii) haya por lo menos una mujer entre las 3 personas elegidas.
b) Si a cada congreso debe ir una persona diferente, calcular las mismas probabilidades que en (a) y además la probabilidad de que haya exactamente una mujer entre las 3 personas elegidas.

En si mi duda es sobre cómo razonarlo, había pensado en ternas $$(c_1,c_2,c_3)$$,$$ c_i \in{\{m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,m_6,h_1,h_2,h_3,h_4\}, i\in{\{1,2,3\}}} $$ que representan todas las combinaciones posibles de 3 representantes.  Pero me confunde las combinaciones posibles con mujeres que vayan a los 2 primeros congresos.

Solo el caso 2 seria entonces posible?

De ser asi, estaría correcto el caso 2 como lo presente? Evidentemente omitiendo ciertos detalles para que no sea tan extenso escribir por aqui.

Ya he demostrado que \( I = \emptyset \), considerando el caso 2) donde \( x_0 - y_0 = x_1 - y_1 \) con \( y_0 < y_1 \), donde \( x_1 = x_0 + 1 \) y \( y_1 = y_0 + 1 \). Ese no es el problema, ya que aquí todo es incompatible, es decir, relacioné uno y lo relacioné con ambos del otro lado, y así sucesivamente.  Por ende I=vacio

Por ende, aquí concluyo que si \( (x,y) \) pertenece a \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), entonces \( (x-1,y-1) \) es su predecesor inmediato. Solo tiene predecesores inmediatos con \( x \geq 1 \) y \( y \geq 1 \) ya que \( \mathbb{N} \) .

Pero en ese caso siempre hay infinitos elementos intermedios. Al menos todos los de la forma:

\( (x_0+k,y_0+k) \) con \( k\geq 1 \)

Para que no haya elementos intermedios por tanto al menos tiene que cumplirse \( x_0-y_0=x_1-y_1 \) e \( y_0<y_1 \). Pero si existe \( y \) con \( y_0<y<y_1 \) todavía habría al menos un elemento intermedio \( (y+x_0-y_0,y) \). Entonces tiene que ocurrir que \( y_1=y_0+1 \) es decir dos elementos "consecutivos" serían de la forma:

\( (x_0,y_0) \) y \( (x_0+1,y_0+1) \).