[Cequiel]

Estaba haciendo un algoritmo para calcular la adjunta de una matriz cuando me encontré con un caso inesperado. Según la Wikipedia, la inversa de una matriz 1x1 es la matriz identidad:
https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix#1_.C3.97_1_generic_matrix

Pero, cuál sería la adjunta de una matriz de orden 0? Es decir, una matriz que no tiene ninguna columna y ninguna fila?

[mathtruco]

Hola Cequiel.

De acuerdo al link que das, la matriz adjunta de cualquier matriz de orden uno es la identidad, y su inversa es uno dividido en ese número:

    Para \( a\in\mathbb{R},\; a\neq0\; \textrm{Adj}(a)=I=1 \)  y  \( \textrm{inv}(a)=\frac{1}{a} \).

¿Cómo defines una matriz de orden cero? ¿Puedes mostrar un ejemplo?

[Cequiel]

¿Cómo defines una matriz de orden cero? ¿Puedes mostrar un ejemplo?

Una matriz de 2x2 sería de la siguiente forma:

[[a11, a12], [a21, a22]]

Una matriz de 1x1 sería:

[[a1]]

Y una matriz de 0x0 es aquella que tiene 0 columnas y 0 filas. Es difícil representarla, pero yo la escribiría como:

    \( \emptyset \)

Donde \( \emptyset \) representa una matriz que, aunque posee una estructura matricial, no contiene nada. Ni columnas ni filas. Lo que me gustaría es conocer la adjunta de \( \emptyset \). Y, ya puestos, la inversa de \( \emptyset \) (caso de existir).

[mathtruco]

Hola Cequiel.

No creo que tenga sentido definir una matriz de orden cero. Por ejemplo, ¿cómo definirías operaciones más simples como suma, resta o traspuesta de esas matrices?

Aprovecho a invitarte a revisar este tutorial: Leer primero: comenzando a editar fórmulas con LATEX. Te agradezco evites escribir símbolos "extraños" sin usar latex (porque estos símbolos no siempre se ven en todos los navegadores y aparecen cuadrados negros). Por ejemplo, para escribir el conjunto vacío \( \emptyset \) debes escribir [tex]\empyset[/tex]. En ese link también aparece como escribir matrices.

[Cequiel]

No creo que tenga sentido definir una matriz de orden cero. Por ejemplo, ¿cómo definirías operaciones más simples como suma, resta o traspuesta de esas matrices?

Yo pienso que sí podría tener sentido, de la misma forma que tiene sentido un conjunto vacío. Aunque a lo mejor no tendría sentido hablar del adjunto o la inversa de una "matriz vacía".

Aprovecho a invitarte a revisar este tutorial: Leer primero: comenzando a editar fórmulas con LATEX. Te agradezco evites escribir símbolos "extraños" sin usar latex (porque estos símbolos no siempre se ven en todos los navegadores y aparecen cuadrados negros). Por ejemplo, para escribir el conjunto vacío \( \emptyset \) debes escribir [tex]\empyset[/tex]. En ese link también aparece como escribir matrices.

Vale Le echaré un vistazo.

Gracias.

[mathtruco]

No creo que tenga sentido definir una matriz de orden cero.

Te invito a tratar de definirlas    quizás puedes hallar algo interesante. Pero tal como la escribiste sería un conjunto (conjunto vacío), no una matriz.

[Cequiel]

No creo que tenga sentido definir una matriz de orden cero.

Te invito a tratar de definirlas    quizás puedes hallar algo interesante. Pero tal como la escribiste sería un conjunto (conjunto vacío), no una matriz.

La definición en el ámbito informático es relativamente simple. Un vector sería una tupla (o conjunto ordenado) de N elementos, donde N >= 0. Y una matriz es una tupla de N vectores, donde N >= 0. He aquí la definición en el lenguaje TypeScript:
https://github.com/soloproyectos-ts/matrix2/blob/master/src/matrix2.ts

Como ves, atendiendo a esa definición, es posible crear instancias de Vectores que no tienen coordenadas (una tupla de 0 elementos) o matrices que no tienen vectores. Pero aún así, siguen siendo vectores y matrices, ya que prevalece la estructura sobre el contenido (prevalece la clase sobre el objeto). Le pregunté a mi algoritmo y finalmente me dio la siguientes respuestas:

1. El determinante de una "matriz vacía" es 1
2. El determinante de una "matriz de orden 1" es el propio elemento (det([a]) = a)
3. La adjunta de una "matriz vacía" es otra matriz vacía.
4. La adjunta de una matriz de orden 1 es la matriz unitaria [1]
5. La inversa de una "matriz vacía" es otra matriz vacía.

Y este es el algoritmo para calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada, del cual me siento especialmente orgulloso
https://github.com/soloproyectos-ts/matrix2/blob/master/src/matrix2.ts#L93

Resumiendo:
La adjunta y la inversa de una matriz de orden 0 (o matriz vacía) es otra matriz vacía. Y el determinante de una matriz vacía es 1. Según el algoritmo.

[mathtruco]

Ahora comprendo tu punto. En computación podría tener sentido una matriz (o tupla) sin elementos, ya que puede ser de utilidad asignarle primero un nombre a la estructura (vacía) para posteriormente ir llenándola de elementos. Y como es una tupla, cualquier función del lenguaje cuyo argumento sea una tupla (matriz), debiera estar también definida para la tupla vacía.

Sobre las propiedades que debe cumplir, mientras seamos coherentes con las propiedades de las matrices de otros órdenes estamos ok.

Podemos definir:

    \( \lambda []=[] \)  para todo \( \lambda \) escalar.

    \( []\pm []=[] \)

    \( []* []=[] \)

    \( \textrm{inv}([])=[] \), y con eso \( []*\textrm{inv}([])=\textrm{inv}([])*[]=[] \)

    \( \textrm{det}([])=1 \), ya que \( \textrm{det}(\textrm{inv}(A))=\dfrac{1}{\textrm{det}(A)} \)

    \( []^t=[] \)


Hice las cuentas en matlab y también usa este criterio. Y si lo usa matlab (==matrix laboratory) seguramente debe ser un estándar.

P.D.  Otra propiedad que nos gustaría que cumpla es \( A^{-1}=\dfrac{1}{\textrm{det}(A)}\textrm{adj}(A) \), por lo que podríamos definir \( \textrm{adj}([])=[] \).

P.D.2   En vista de lo anterior, la matriz identidad de orden cero también podemos definirla como \( [] \). Pero como \( []-[]=[] \), la matriz nula tendrá determinante uno, lo que es peligroso.

[argentinator]

El espacio de matrices 0x0 ha de ser sumergible en cualquier espacio de matrices mxn.
Así que debe comportarse como una matriz de ceros.

Por lo tanto no sería invertible y su determinante sería 0.

[Luis Fuentes]

Hola

El espacio de matrices 0x0 ha de ser sumergible en cualquier espacio de matrices mxn.

O no. Depende de lo que queramos exigir.

Este tipo de cosas se parece bastante a las discusiones sobre como definir \( 0^0 \).

Saludos.