Autor Tema: Hallar todos los \(z \in \mathbb{C}\) tales que...

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17 Junio, 2022, 08:12 pm
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nktclau

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Buenas tardes Querido Foro!  ;)
Necesito, por favor, de vuestro gran conocimiento, con el siguiente ejercicio, que dice así; Hallar rodos los \( z \in \mathbb{C} \) tal que verifiquen \( \left |{z-(1+i)}\right |\geq{2} \) y \( Arg(5z^3)=Arg(-3z) \)

Solución

Sea \( z=a+bi \) o bien \( z=\rho cis(\alpha) \) con \( 0\leq{\alpha}<2\pi \)

Esta parte de aquí no tuve problema, \( \left |{z-(1+i)}\right |\geq{2} \) Son los \( z \) tal que su módulo pertenezca a la región del plano, fuera de la circunferencia de centro \( (1,1) \) y radio mayor o igual a 2, gráficamente:

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Cuando solicitan que además cumpla \( Arg(5z^3)=Arg(-3z) \) lo resolví de la siguiente manera

Cómo al comienzo definí a  \( z=\rho cis(\alpha) \) con \( 0\leq{\alpha}<2\pi \)

\( 5z^3=5(\rho \cdot cis(\alpha))^3\underbrace{=}_{De Moivre}5 \cdot \rho^3 cis(3 \alpha) \)

\( -3z=-3\rho cis(\alpha) \)

Por lo tanto, si se debe verificar que  \( Arg(5z^3)=Arg(-3z)\Longrightarrow{3\alpha=\alpha}\Longleftrightarrow{\alpha=0} \)

Por lo tanto \( z=\rho \cdot cis(0)=\rho \) son todos aquellos complejos que tienen la parte imaginaria nula, por lo tanto gráficamente obtengo aquellos complejos sobre el eje \( x \).

Intersectando ambas condiciones obtengo que \( \left\{{z=\rho \cdot cis(\alpha) \in \mathbb{C}: \rho\in (a-1)^2+(b-1)^2\geq{4}} \wedge Arg(z)=0\right\} \)

Graficamente:
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¿Está bien la conclusión obtenidad de la parte del argumento?

Desde ya muchísimas Gracias ;) y muy buen fin de semana a todos!! :)

17 Junio, 2022, 09:01 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Cuando solicitan que además cumpla \( Arg(5z^3)=Arg(-3z) \) lo resolví de la siguiente manera

Cómo al comienzo definí a  \( z=\rho cis(\alpha) \) con \( 0\leq{\alpha}<2\pi \)

\( 5z^3=5(\rho \cdot cis(\alpha))^3\underbrace{=}_{De Moivre}5 \cdot \rho^3 cis(3 \alpha) \)

\( -3z=-3\rho cis(\alpha) \)

Por lo tanto, si se debe verificar que  \( Arg(5z^3)=Arg(-3z)\Longrightarrow{3\alpha=\alpha}\Longleftrightarrow{\alpha=0} \)

Tienes que tener cuidado con dos cosas:

1) \( arg(-z)=arg(z)+\pi \)

2) \( arg(z^3)=3arg(z)+2k\pi \). Es decir si mides los argumentos en un determinado intervalo, como \( [0,2\pi) \) o \( (-\pi,pi) \) tienes que trasladar el ángulo a ese intervalo para igualar dos argumentos. Por ejemplo: \( arg(-1)=\pi \) entonces \( arg((-1)^3)=arg(-1)=\pi=3\pi-2\pi \).

 Teniendo en cuenta esto que \( arg(z^3)=arg(-z) \) se traduce en que:

  \( 3\alpha=\alpha+\pi+2k\pi \)

 Es decir \( \alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\in [0,2\pi) \). Por tanto hay dos posibilidades:

 \( \alpha=\pi/2 \) ó \( \alpha=3\pi/2 \)

Saludos.

18 Junio, 2022, 01:42 am
Respuesta #2

nktclau

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Hola Luis Fuentes!! MUCHÍSIMAS GRACIAS por la aclaración!  :aplauso: :aplauso: :aplauso:,lo vi con algunos casos en particular, además del que citas, y entendí perfectamente  ;)

Saludos y Buen fin de semana!