Autor Tema: Coeficientes binomiales naturales - demostración

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14 Mayo, 2018, 10:13 pm
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franco_xyz

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Hola! Estoy intentando demostrar por inducción que el coficiente binomial  \( \displaystyle\binom{n}{k} \) es siempre un número natural. Primero descarto los casos en que \( k=0 \) y \( k=n \) ya que por definición \( \displaystyle\binom{n}{0}=\displaystyle\binom{n}{n}=1 \) es natural, y me centro en \( 0<k<n \).
El primer paso es comprobar que el primer coeficiente binomial es natural: \( \displaystyle\binom{2}{1}=1 \) lo cual es cierto.
 Ahora mi hipótesis es que \( \displaystyle\binom{h}{k} \) es natural entonces \( \displaystyle\binom{h+1}{k} \) también es natural.
Como \( \displaystyle\binom{h+1}{k} = \displaystyle\binom{h}{k-1} + \displaystyle\binom{h}{k} \)    el segundo término es natural por hipótesis, solo me faltaría demostrar que el primer término también lo es.
 ¿Podría afirmarse que \( \displaystyle\binom{h}{k-1} \) es natural ya que tiene la misma forma que la hipótesis? Es decir, podría escribirse \( k-1=m \) entonces \( \displaystyle\binom{h}{m} \) sería natural por hipótesis. ¿O sí o sí tiene que ser \( m=k \) para que el coeficiente cumpla con la hipótesis?

15 Mayo, 2018, 10:26 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola! Estoy intentando demostrar por inducción que el coficiente binomial  \( \displaystyle\binom{n}{k} \) es siempre un número natural. Primero descarto los casos en que \( k=0 \) y \( k=n \) ya que por definición \( \displaystyle\binom{n}{0}=\displaystyle\binom{n}{n}=1 \) es natural, y me centro en \( 0<k<n \).
El primer paso es comprobar que el primer coeficiente binomial es natural: \( \displaystyle\binom{2}{1}=1 \) lo cual es cierto.
 Ahora mi hipótesis es que \( \displaystyle\binom{h}{k} \) es natural entonces \( \displaystyle\binom{h+1}{k} \) también es natural.
Como \( \displaystyle\binom{h+1}{k} = \displaystyle\binom{h}{k-1} + \displaystyle\binom{h}{k} \)    el segundo término es natural por hipótesis, solo me faltaría demostrar que el primer término también lo es.
 ¿Podría afirmarse que \( \displaystyle\binom{h}{k-1} \) es natural ya que tiene la misma forma que la hipótesis? Es decir, podría escribirse \( k-1=m \) entonces \( \displaystyle\binom{h}{m} \) sería natural por hipótesis. ¿O sí o sí tiene que ser \( m=k \) para que el coeficiente cumpla con la hipótesis?

Ten en cuenta que el coeficiente binomial depende de dos naturales; tienes que dejar claro en cuál aplicas la inducción.

Entonces nuestra proposición es:

\( p(n) \): el coeficiente \( \displaystyle\binom{n}{k} \) es natural para todo \( 0\leq k\leq n \).

Para \( n=1 \), \( p(n) \) es cierta (compruébalo).

Ahora suponemos cierta \( p(n) \) y queremos probar \( p(n+1) \).

Dado \( k \) con \( 0\leq k\leq n+1 \) queremos probar que \( \displaystyle\binom{n+1}{k} \) es natural.

- Si \( k=0  \) ó \( k=n+1 \) es inmediato por definición.
- En otro caso:

\( \displaystyle\binom{n+1}{k}=\displaystyle\binom{n}{k-1}+\displaystyle\binom{n}{k} \)

Ambos sumandos son naturales por la hipótesis de inducción, porque \( p(n) \) es cierta y la suma de naturales es natural.

Saludos.

15 Mayo, 2018, 02:06 pm
Respuesta #2

franco_xyz

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08 Mayo, 2022, 01:32 am
Respuesta #3

LeJoha

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Hola

Hola! Estoy intentando demostrar por inducción que el coficiente binomial  \( \displaystyle\binom{n}{k} \) es siempre un número natural. Primero descarto los casos en que \( k=0 \) y \( k=n \) ya que por definición \( \displaystyle\binom{n}{0}=\displaystyle\binom{n}{n}=1 \) es natural, y me centro en \( 0<k<n \).
El primer paso es comprobar que el primer coeficiente binomial es natural: \( \displaystyle\binom{2}{1}=1 \) lo cual es cierto.
 Ahora mi hipótesis es que \( \displaystyle\binom{h}{k} \) es natural entonces \( \displaystyle\binom{h+1}{k} \) también es natural.
Como \( \displaystyle\binom{h+1}{k} = \displaystyle\binom{h}{k-1} + \displaystyle\binom{h}{k} \)    el segundo término es natural por hipótesis, solo me faltaría demostrar que el primer término también lo es.
 ¿Podría afirmarse que \( \displaystyle\binom{h}{k-1} \) es natural ya que tiene la misma forma que la hipótesis? Es decir, podría escribirse \( k-1=m \) entonces \( \displaystyle\binom{h}{m} \) sería natural por hipótesis. ¿O sí o sí tiene que ser \( m=k \) para que el coeficiente cumpla con la hipótesis?

Ten en cuenta que el coeficiente binomial depende de dos naturales; tienes que dejar claro en cuál aplicas la inducción.

Entonces nuestra proposición es:

\( p(n) \): el coeficiente \( \displaystyle\binom{n}{k} \) es natural para todo \( 0\leq k\leq n \).

Para \( n=1 \), \( p(n) \) es cierta (compruébalo).

Ahora suponemos cierta \( p(n) \) y queremos probar \( p(n+1) \).

Dado \( k \) con \( 0\leq k\leq n+1 \) queremos probar que \( \displaystyle\binom{n+1}{k} \) es natural.

- Si \( k=0  \) ó \( k=n+1 \) es inmediato por definición.
- En otro caso:

\( \displaystyle\binom{n+1}{k}=\displaystyle\binom{n}{k-1}+\displaystyle\binom{n}{k} \)

Ambos sumandos son naturales por la hipótesis de inducción, porque \( p(n) \) es cierta y la suma de naturales es natural.

Saludos.

Buenas tardes, tengo una pregunta respecto al planteamiento de la demostración. Hay alguna otra forma de demostrarlo sin hacer uso de la propiedad que mencionan al final? ya que no la hemos usado ni demostrado ni mencionado.
\( \displaystyle\binom{n+1}{k}=\displaystyle\binom{n}{k-1}+\displaystyle\binom{n}{k} \)
Gracias!

08 Mayo, 2022, 01:58 am
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Lo hace por inducción luego tiene que usar esa forma.

Si quieres ver una explicación, tienes \( n \) elementos y quieres ver todas las variaciones de \( k \) elementos, tenemos \( \dfrac{n!}{(n-k)}  \) variaciones sin repetición.
Sea \( \displaystyle x_k = {n \choose k}  \) el número de subconjuntos de \( k \) elementos de un conjunto de \( n \) elementos, que es un número natural.
Tenemos que un conjunto de 5 elementos por dar un ejemplo,  tendrá seguro una cantidad finita de subconjuntos de dos elementos.
Si tomamos \( x_k \) y para cada uno de esos subconjuntos lo multiplico por \( k! \) tenemos todas las variaciones posibles de \( k \) elementos, luego:
\( x_k \cdot k! =  \dfrac{n!}{(n-k)}  \)