[jacks]

Finding maximum and minimum value of \( \displaystyle x^3+y^3 \) subjected to \( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \)

[Fernando Revilla]

Finding maximum and minimum value of \( \displaystyle x^3+y^3 \) subjected to \( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \)

Have you tried using the method of Lagrange multipliers?

[Fernando Revilla]

Have you tried using the method of Lagrange multipliers?

On the ellipse \( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \), we have

        \( f(x,y)=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=-(x+y)^2 \)

This, considerably simplify the problem. You'll obtain \( f_{\operatorname{abs\;max}}(0,0)=0, f_{\operatorname{abs\;min}}(-2,-2)=-16. \)

[Fernando Revilla]

   I have written the solution: Extremos de $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre una elipse

[thadeu]

Finding maximum and minimum value of \( \displaystyle x^3+y^3 \) subjected to \( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \)

De la condición, llegamos a
$$x^3+y^3=-(x+y)^2$$

\( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \) Se reescribe como
$$(x+y)^2+(x+y)=3xy...(1)$$
Tambien $$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy...(2)$$
Reempmazando $$(2) en (1)$$ se tiene que
$$(x+y)^2+4(x+y)=-3(x-y)^2\leq{0}$$
De donde $$(x+y)^2+4(x+y)\leq{0}$$
$$(x+y)(x+y+4)\leq{0}$$

Caso I
$$x+y\geq{0}$$ y $$x+y\leq{-4}$$
Lo que claramente lleva a una contradicción
 
CasoII
$$x+y\leq{0}$$ y $$-4\leq{x+y}$$
$$-4\leq{x+y}\leq{0}$$
Por lo que $$-16\leq{-(x+y)^2}\leq{0}$$
Para $$x=y=-2$$ se tiene $$-(x+y)^2=-16$$
Para $$x=y=0$$ se tiene $$-(x+y)^2=0$$
 Por lo que el mínimo es $$-16$$ y el máximo $$0$$

[Richard R Richard]

   I have written the solution: Extremos de $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre una elipse

Hola, Fernando , en tu entrada leo

Restando a la primera ecuación la segunda obtenemos

$$3\lambda (x-y)=0.$$

No sería $$2\lambda (x-y)=0.$$ o allí me pierdo.


El resto de la explicación creo la entendí.


Saludos

[Fernando Revilla]

Hola, Fernando , en tu entrada leo

Restando a la primera ecuación la segunda obtenemos
$$3\lambda (x-y)=0.$$

No sería $$2\lambda (x-y)=0.$$ o allí me pierdo.

Lo acabo de revisar. Me sigue dando $$3\lambda (x-y)=0.$$

[Richard R Richard]

Ahora lo ví con lápiz y papel, simplificaba mentalmente cuando debía sumar, Gracias perdón la molestia.

[Fernando Revilla]

Ahora lo ví con lápiz y papel, simplificaba mentalmente cuando debía sumar, Gracias perdón la molestia.

No problem .

[Fernando Revilla]

    Un método heurístico y/o de olimpiadas nos propociona thadeu:

Finding maximum and minimum value of \( \displaystyle x^3+y^3 \) subjected to \( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \)

De la condición, llegamos a
$$x^3+y^3=-(x+y)^2$$

\( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \) Se reescribe como
$$(x+y)^2+(x+y)=3xy...(1)$$
Tambien $$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy...(2)$$
Reempmazando $$(2) en (1)$$ se tiene que
$$(x+y)^2+4(x+y)=-3(x-y)^2\leq{0}$$
De donde $$(x+y)^2+4(x+y)\leq{0}$$
$$(x+y)(x+y+4)\leq{0}$$

Caso I
$$x+y\geq{0}$$ y $$x+y\leq{-4}$$
Lo que claramente lleva a una contradicción
 
CasoII
$$x+y\leq{0}$$ y $$-4\leq{x+y}$$
$$-4\leq{x+y}\leq{0}$$
Por lo que $$-16\leq{-(x+y)^2}\leq{0}$$
Para $$x=y=-2$$ se tiene $$-(x+y)^2=-16$$
Para $$x=y=0$$ se tiene $$-(x+y)^2=0$$
 Por lo que el mínimo es $$-16$$ y el máximo $$0$$