[esmeraldabrown]

Con el Método de Newton resuelva la siguiente ecuación:
 

\( \displaystyle 0 = \frac{1}{ 2}+ \frac{1}{4}x^2- xsen(x)- \frac{1}{2}cos(2x)  \)
itere hasta lograr una exactitud de \( \displaystyle 10^{−5} \) con:

\(  \displaystyle p_0 = \frac{\pi}{3}
\\
p_0 = 3\pi \)

Cómo hago los cálculos para obtener la precisión \( \displaystyle 10^{−5} \)?

Ayuda con este método por favor

[esmeraldabrown]

Necesito que alguien me explique cómo sé cuándo he alcanzado la precisión que me piden, por favor

[ancape]

Con el Método de Newton resuelva la siguiente ecuación:
 

\( \displaystyle 0 = \frac{1}{ 2}+ \frac{1}{4}x^2- xsen(x)- \frac{1}{2}cos(2x)  \)
itere hasta lograr una exactitud de \( \displaystyle 10^{−5} \) con:

\(  \displaystyle p_0 = \frac{\pi}{3}
\\
p_0 = 3\pi \)

Cómo hago los cálculos para obtener la precisión \( \displaystyle 10^{−5} \)?

Ayuda con este método por favor

Lorena

Cuando se va a aplicar un método numérico como el de Newton-Raphson lo primero que hay que hacer es buscar un intervalo \( [a,b] \) en el que se sepa a ciencia cierta que existe una raíz. Parece que los datos \(  \displaystyle p_0 = \frac{\pi}{3}
\\
p_0 = 3\pi \)

indican los valores de \( a,b \) pero si \( f(x) \) es la función que da la ecuación, entonces \( f(\displaystyle\frac{\pi}{3})=0.12 \) y \( f(3\pi)=22.21  \) observando que no podemos asegurar que en intervalo \( [\displaystyle\frac{\pi}{3},3\pi] \) exista una raíz. Habría que hacer un estudio más profundo para asegurarlo. Por ejemplo podríamos estudiar el crecimiento-decrecimiento de la función y ver que si no hay raíz el paso de \( 0.12 \) a \( 22.1 \) es imposible.

Una vez que asegures dónde hay raíz puedes empezar a aplicar el método de Newton observando que da una sucesión de valores (aproximaciones de la raíz) \( x_n \) y que una cota del error relativo se obtiene comparando dos aproximaciones sucesivas \( E=|\displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}| \).

Mira el artículo de Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton y el ejemplo que lo acompaña. En ese ejemplo puedes ver como con 4 iteraciones consigues un error en la 5ª cifra decimal.

Saludos

[esmeraldabrown]

Hola, lo que puedo entender del ejercicio es que debo aplicar el método dos veces tomando como valor inicial primero\(  \frac{\pi}{3} \)
Y volver a calcular usando \( 3\pi \)
El detalle es que no me logra entrar en la cabeza en que momento debo detenerme , cómo logro saber que he alcanzado la exactitud pedida. ?

[ancape]

Hola, lo que puedo entender del ejercicio es que debo aplicar el método dos veces tomando como valor inicial primero\(  \frac{\pi}{3} \)
Y volver a calcular usando \( 3\pi \)
El detalle es que no me logra entrar en la cabeza en que momento debo detenerme , cómo logro saber que he alcanzado la exactitud pedida. ?

Esmeralda

La iteración del Método de Newton es \( x_{n+1}=x_n-\displaystyle\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) esto te da la sucesión de aproximaciones. Por ejemplo partiendo de \( 3\pi \) obtenemos 9.424777, 7.853981, 4.926990,..... y tienes la sucesión para aplicar la fórmula del error \( Error=|\displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}| \). Si partes de \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \)El problema es que f' es cero en \( \pi/3 \) y no podemos seguir por ahí ¿Cómo resolverlo?

Saludos

PD
En mi respuesta anterior te llamé Lorena. Perdona la equivocación.

[esmeraldabrown]

No te preocupes, no me había percatado de eso 

Entonces no se puede resolver?

[delmar]

Hola

Sí tiene solución, lo que ha explicado ancape en su segundo aporte esta muy bien, lo único que se suele entender a \( 10^{-5} \) como la precisión o tolerancia y constituye \( TOL=\left |{x_{n+1}-x_n}\right |<10^{-5} \), la clave de este método para resolver ecuaciones, esta en hacer una curva de la función de tal manera que se vea aproximadamente donde se da \( f(x)=0 \) y partir de un valor cercano a la solución de esta forma la iteración converge, por ejemplo \( P0=1.8 \) realizando varias iteraciones, que generalmente se hacen con un programa o una hoja de cálculo, se llega a la solución.

Saludos

[esmeraldabrown]

Pero es que no logro entender cuando me dice que si parto de\(  \frac{\pi}{3} \)\(  f' \) es cero, por eso pregunto si tiene solución o no? Agradezco cada uno de sus aportes, necesito entender lo que voy hacer , perdonen si suena molesto que pregunte a cada rato

[Abdulai]

...
Entonces no se puede resolver?

Da la sensación que el objetivo del ejercicio era discutir las limitaciones del método de Newton en clase pues:
- Los ceros de la función son dobles, esto hace que Newton converja lentamente.
- La función es oscilante, si no se elige con cuidado el punto de partida cada iteración te manda a cualquier parte.
- Los puntos de partida que te dieron son los "que no deberías usar"

Gráficamente y ampliando en los ceros:


En casos como estos para decidir el punto inicial la vía simple es ayudarse de la gráfica.  Acá eligiendo \( x=2 \) o \( x=\pi \) converge a la raíz. Eso sí, lentamente.

Ahora bien, la función que te dieron puede escribirse  \( f(x)=\frac{1}{2} +\frac{1}{4} x^2 - x\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(2x) =\left(\dfrac{x}{2}-\sin(x)\right)^2 \)
Aplicando Newton a \( \dfrac{x}{2}-\sin(x)=0 \) si bien persiste el inconveniente del punto inicial, la convergencia es mucho mas rápida.

Respecto a cuando detenerse, según el problema se hace cuando \( \left|x_{k+1}-x_k\right|< \epsilon \)  o \(  \left| f(x_k) \right|< \epsilon \)
Pero ojo, cuando tenés raíces triples (o mas) el primer criterio no sirve.

[delmar]

Muy bueno tu aporte Abdulai  y la clave esta en el punto de partida cerca de la solución que se quiere precisar, válido incluso cuando hay más de una solución.

Saludos