Si es cierto, no me había dado cuenta del error, ya lo corregí, me puedes orientar con este ejercicio? Un ejercicio muy similar aparece en el libro de Burden página 515 en la séptima edición, pero no entiendo la notación
Esto lo tengo un poco verde; si me equivoco ya te explicarán mejor otros. Primero halla el polinomio de MacLaurin de grado seis usando
\( p_6(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots +\dfrac{f^{(6)}(0)}{6!}x^6 \)
A mí me sale:
\( p_6(x)=x+x^2+\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{x^4}{6}+\dfrac{x^5}{24}+\dfrac{x^6}{120} \)
Según ese mismo libro, en su página 515, el error de la aproximación es \( |R_6(x)|=\dfrac{|f^{(7)}(\eta(x))||x^7|}{7!}\leq \dfrac{8e}{7!}\simeq 0,0043 \)
Como se pretende bajar el grado, el polinomio de quinto grado, o menor, que mejor aproxima uniformemente en \( [-1,1] \) es
\( p_5(x)=p_6(x)-a_6\tilde{T}_6(x) \) donde \( p_6(x) \) ya está calculado, \( a_6=\dfrac{1}{120} \) y \( \tilde{T}_6(x)=x^6-\dfrac{3x^4}{2}+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{32} \) es el polinomio
mónico de Chebyshev correspondiente.
Así la aproximación de grado menor que seis sería \( p_5(x)=\dfrac{x^5}{24}+\cdots +\dfrac{1}{3840} \).
Siguiendo el libro de Burden, el error de esta selección es \( |p_5(x)-p_6(x)|=|a_6\tilde{T}_6(x)|\leq \dfrac{1}{120}\cdot \dfrac{1}{2^5}\simeq 0,00026 \) que sumado al otro da aproximadamente \( 0,0045<0,01 \)
Es lo que puedo explicarte. Saludos
PD: Habría que seguir el proceso, buscando ahora una aproximación de grado menor o igual que cuatro,
\( p_4(x)=p_5(x)-a_5\tilde{T}_5(x) \) con \( \tilde{T}_5(x)=x^5 -\dfrac{5x^3}{4}+\dfrac{5x}{16} \), y así sucesivamente, siempre y cuando no se rebase la cota global de error admitida, es decir, 0,01
