[jpsilva]

Buenos Dias
Soy un poco nuevo en esto del foro.
Tengo un problema algo complicado por eso recurro a ustedes.
Para cada función continuamente diferenciable [texx] f(t)[/texx] en  [texx] 0\leq t\leq 1[/texx] existe una secuencia de polinomios [texx] p_m(t)[/texx] tal que
[texx] \displaystyle \max_{0\leq t\leq 1}{\left | p_m(t)-f(t) \right | }+ \displaystyle \max_{0\leq t\leq 1}{\left | \frac{d}{dx}p_m(t)-\frac{d}{dx}f(t) \right | }\rightarrow 0 [/texx]     si [texx] m \rightarrow \infty[/texx]
saludos

[Masacroso]

Buenos Dias
Soy un poco nuevo en esto del foro.
Tengo un problema algo complicado por eso recurro a ustedes.
Para cada función continuamente diferenciable [texx] f(t)[/texx] en  [texx] 0\leq t\leq 1[/texx] existe una secuencia de polinomios [texx] p_m(t)[/texx] tal que
[texx] \displaystyle \max_{0\leq t\leq 1}{\left | p_m(t)-f(t) \right | }+ \displaystyle \max_{0\leq t\leq 1}{\left | \frac{d}{dx}p_m(t)-\frac{d}{dx}f(t) \right | }\rightarrow 0 [/texx]     si [texx] m \rightarrow \infty[/texx]
saludos

¿Y cuál es la pregunta? Esto no tiene mucho que ver con teoría de la medida (más bien nada) sino con el teorema de Stone-Weierstrass.

[jpsilva]

Hola
Si exacto tienes razón, lo que quiero demostrar  es que para cada funcion continuamente diferenciable existe una secuencia de polinomios tal que se cumpla la funcion que escribí anteriormente

[Masacroso]

Hola
Si exacto tienes razón, lo que quiero demostrar  es que para cada funcion continuamente diferenciable existe una secuencia de polinomios tal que se cumpla la funcion que escribí anteriormente

Con el teorema de Stone-Weirstrass sabes que, dado un \( \epsilon >0 \) cualquiera, existe un polinomio \( p \) tal que \( \|p-f\|_\infty<\epsilon/2  \) si \( f\in C([0,1]) \). Entonces si \( F\text{ y } P \) son primitivas de \( f\text{ y } p \) respectivamente sabemos que \( P \) es un polinomio y que \( F\in C^1([0,1]) \) y que

\( \displaystyle{
\|P-F\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}\left|\int_{0}^x(p(t)-f(t))dt\right| \leqslant \sup_{x\in[0,1]}\int_{0}^x\|f-p\|_\infty dt= \|f-p\|_\infty
} \)

Por tanto \( \|F-P\|_{C^1}\leqslant \epsilon  \), lo que completa la demostración.