[AveFenix]

Estoy entrando al Área de Particiones, soy muy nuevo
Aquí pidiendo ayuda a los Genios.

En \( \mathbb{R}^2 \) se define la relación \( \sim \) de acuerdo a: \( (x,y)\sim{(x',y')\iff {|x|+|y|=|x'|+|y'|}} \)

a. Probar que es de equivalencia

b. Hallar \( K_{(0,0)},K_{(1,0)} \)\( K_{(a,0)} \)con a>0.

c. Representar las clases gráficamente.


a- Intento de probar que es de equivalencia 

Refleja:

\( |x|+|y|=|x|+|y| \) por lo tanto \( aRa \) ??


Simétrica: \( a\sim{b\rightarrow{b\sim{a}}} \)

\( |x|+|y|=|x′|+|y′| \rightarrow{} |x′|+|y′|=|x|+|y| \rightarrow{bRa}  \)

Transitiva: \(  a∼b\wedge \)\( b∼c\rightarrow{a\sim{c}} \) (me confundí)

\( aRb \)       \( |x|+|y|=|x'|+|y'| \)
\( bRc \)      \( |x'|+|y'|=|x''|+|y''| \)
           __________________________

                   \( |x|+|y|=|x''|+|y''| \)  \( a\sim{c} \) ?




Bien o me equivoqué? y la parte B Las clases como serían dado el caso? en este ejemplo.  Mejor dicho, cómo identificar las clases en cualquier tipo de ejercicio?

Mil gracias.

[feriva]

Perdona, que he visto una relación distinta, he dormido sólo unas horas hoy y no pude ser


Bueno, si te sirve, la relación que había creído ver, o he cambiado en mi cabez al leer, era ésta \( x+y'=y+x'
  \)

Spoiler

No he puesto los valores absolutos, pero ya los pones tú

1ª \( (\forall(x,y)):\, x+y=y+x\Rightarrow(x,y)\mathcal{R}(y,x)
  \)

2ª \( (x,y)\mathcal{R}(x',y')\Rightarrow x+y'=y+x'\Rightarrow x'+y=y'+x\Rightarrow(x,y)\mathcal{R}(x',y')
  \)

3ª\( (x,y)\mathcal{R}(x',y')\wedge(x',y')\mathcal{R}(u,v)\Rightarrow x+y'=y+x'\Rightarrow x'+v=y'+u\Rightarrow
  \)

\( x+y'+x'+v=y+x'+y'+u\Rightarrow x+v=y+u\Rightarrow(x,y)\mathcal{R}(u,v)
  \)

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Bien o me equivoqué? y la parte B Las clases como serían dado el caso? en este ejemplo.  Mejor dicho, cómo identificar las clases en cualquier tipo de ejercicio?

Tienes bien las demostraciones. En cuanto a las clases te doy una pista con un esquema. Puedes mover el valor de \( a \) en la barra:


En realidad a efectos operativos no es más que aplicar la definición. Para \( a>0 \):

\( K_{(a,0)}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2||x|+|y|=a\} \)

Intenta algo y si no te sale pregunta.

Saludos.

[AveFenix]

Escribo para que revisen:

\( K(a,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=a} \)

\( K(1,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=1} \)   No se si es valido escribir que sus intersecciones x e y son :
                                                                 x(1,0);(-1,0) , y (0,1);(0,-1)  y su gráfico quedaría similar al que pusiste.

\( K(0,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=0} \)  Pues Aquí simplemente quedaría x(0,0) y y(0,0)

Me equivoque?

[Luis Fuentes]

Hola

Escribo para que revisen:

\( K(a,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=a} \)

\( K(1,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=1} \)   No se si es valido escribir que sus intersecciones x e y son :
                                                                 x(1,0);(-1,0) , y (0,1);(0,-1)  y su gráfico quedaría similar al que pusiste.

Está bien; aunque no queda muy claro que quieres decir con sus intersecciones.

La mejor forma de describir la ecuación |x|+|y|=a es decir que:

- Cuando \( x\geq 0 \), \( y\geq 0 \) es el trozo de recta \( x+y=a \), es decir, el segmento que une \( (a,0) \) y\(  (0,a) \).
- Cuando \( x\geq 0 \), \( y\leq 0 \) es el trozo de recta \( x-y=a \), es decir, el segmento que une \( (a,0) \) y\(  (0,-a) \).
- Cuando \( x\leq 0 \), \( y\geq 0 \) es el trozo de recta \( -x+y=a \), es decir, el segmento que une \( (-a,0) \) y\(  (0,a) \).
- Cuando \( x\leq 0 \), \( y\leq 0 \) es el trozo de recta \( -x-y=a \), es decir, el segmento que une \( (-a,0) \) y\(  (0,-a) \).

\( K(0,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=0} \)  Pues Aquí simplemente quedaría x(0,0) y y(0,0)

 ¿Pero por qué lo repites dos veces? Sería simplemente el punto \( (0,0) \), es decir:

\( K(0,0)=\{(x,y)\in \Bbb R2||x|+|y|=0\}=\{(0,0)\} \)

Saludos.