Hola
Para poder llenar un cuaderno de k páginas, cada una con\( \dfrac{k}{3} \) líneas, utilizamos \( \dfrac{(k^3 - 2k^2)}{15} \) letras las cuales fueron colocadas \( \dfrac{(k - 2)}{5} \) letras por línea y separadas por un espacio correspondiente a una carta. Si ponemos las letras en las líneas sin utilizar espacios, el número de páginas vacías del cuaderno sería: (R:\( 12 \) si \( k=27 \))
Entiendo que en cada línea las \( \dfrac{(k - 2)}{5} \) letras están separadas por \( [tex]\dfrac{(k - 2)}{5}-1 \) espacios. Así que si las eliminamos, en cada línea tendríamos:
\( \dfrac{2k-4}{5}-1=\dfrac{2k-9}{5} \) letras
En cada página:
\( \dfrac{2k-9}{5}\cdot \dfrac{k}{3}=\dfrac{2k^2-9k}{15} \) letras por página
Entonces el nuevo número de paginas sería:
\( \dfrac{\dfrac{(k^3 - 2k^2)}{15}}{\dfrac{2k^2-9k}{15}}=\dfrac{k(k-2)}{2k-9} \)
Para que ese cociente sea entero \( k \) debe de ser impar. Y para que \( k/3 \) sea entero múltiplo de \( 3 \). Pongamos: \( k=3(2n+1)=6n+3 \). Queda:
\( \dfrac{36n^2+24b+3}{12n-3}=\dfrac{12n^2+8n+1}{4n-1}=3n+3-\dfrac{n-4}{4n-1} \)
Ahora es inmediato ver que ese cociente sólo es entero para \( n=1,4 \) (para \( n>4 \) el numerador es más pequeño que el denominador).
Pero si \( n=1 \) entonces \( k=9 \) y \( (k-2)/5 \) no es entero: no vale.
Si \( n=4 \) entonces \( k=27 \). El nuevo número de páginas sería:
\( 3n+3-\dfrac{n-4}{4n-1}=15 \)
Y por tanto las páginas blancas \( 27-15=12 \).
Saludos.
