[alexis]

Antes de nada, quiero saludar a toda la cumunidad del rincón matemático, por las ayudas que ofrecéis.
Dicho esto voy al problema:
  Quiero probar que no es posible dotar a C (los complejos) un "orden total" compatible con la estructura algebraica.

  Qusiera alguna pista sobre qué camino tomar.

  Gracias.

[argentinator]

¿Qué significa "compatible" con la estructura algebraica?

[Teón]

Hola.

Si queremos establecer un orden en los números complejos que restringido a los reales, sea el orden habitual, que sea un orden total y cumpla con las mismas propiedades, nos encontraríamos con algunas dificultades.
por ejemplo
\( i\leq 0\Rightarrow i\times i=-1\geq 0 \) pues si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, cambia el sentido de la misma.

\( i\geq 0\Rightarrow i\times i=-1\geq 0 \)pues si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, el sentido de la misma se mantiene.
En ambos casos, obtenemos un absurdo.

Este puede ser un punto de partida, si bien no demuestra que los complejos no puedan ser provistos de un orden total, vemos que en el camino, seguramente algo tendremos que sacrificar.

Saludos.

[Jabato]

1º.- De dos complejos es mayor el que tiene mayor módulo. Si tienen el mismo módulo sera mayor el de mayor argumento.

2º.- De dos complejos es mayor el que tiene mayor parte real. Si tienen la misma parte real es mayor el que tiene mayor parte imaginaria.

Ambos órdenes son totales, el primero es buen orden y además ambos son compatibles con el orden habitual en los reales.

Saludos, Jabato.

[Teón]

Hola.
Como bien dije en mi post anterior, no demuestro la imposibilidad de establecer un orden en \( \mathbb{C} \). Simplemente marco que a la hora de compatibilizar ese orden establecido, con, por ejemplo, la estructura de cuerpo de \( \mathbb{C} \), habrá que tener cuidado con las reglas que se aplican.
Un ejercicio interesante, sería ver cuales son las reglas a seguir cuando se establecen desigualdades entre operaciones.
Como ejemplo y utilizando el orden 2º, que nos muestra Jabato.

\( z_1,z_2,z_3 \in\mathbb{C}\land z_1\geq z_2 \)
¿Cuál sería la regla a aplicar para establecer la relación de orden entre \( z_1z_3 \) y\( z_2z_3 \)?
es decir, en que casos se cumple
\( \begin{eqnarray}
z_1z_3 &\geq &z_2z_3\\
z_1z_3 &\leq &z_2z_3
\end{eqnarray} \)

Saludos.

[Jabato]

A mi me basta con las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Dar ese dato que pides limitará nuestro horizonte. Si como sospecho quieres llegar a una contradicción elige tú mismo y así te resultará más facil mostrar lo que imagino.

Si insistes en que sea yo quien elija entonces aplica las reglas que te di a dichos productos. Es mayor el que tenga mayor parte real, si son iguales sus partes reales es mayor el que tenga mayor parte imaginaria.

Pero el orden es posible porque ya quedó establecido.

Saludos, Jabato.

[Teón]

Hola

A mi me basta con las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Dar ese dato que pides limitará nuestro horizonte. Si como sospecho quieres llegar a una contradicción elige tú mismo y así te resultará más facil mostrar lo que imagino.

Pues sospechas mal, mi interés radica en ver si de alguna manera, con al algún orden sobre los complejos, por ejemplo alguno de los que tú citas, es posible obtener un cuerpo ordenado, arquimediano,  en fin, con todas las "bondades" que nos aporta el orden habitual para los reales.

No impera en mi el espíritu confrontativo, sino, muy por el contrario, un sentido cooperativo, para ver si entre todos podemos construir algo interesante.
Saludos.

[Jabato]

Pues no tengo los detalles de porqué, aunque vi algún documento de uno de los últimos congresos de matemática (creo que fué el último) y este es un tema que se tocó. Parece que existe algo importante detrás del orden en los complejos pero no puedo aclarar el qué. Aunque según tengo entendido como bien dices parece que existe alguna limitación que no sé detallar. A ver si alguien aporta algo más de luz.

Saludos, Jabato.

[Fernando Revilla]

Partiendo del Axioma de la libre elección de Zermelo se demuestra el Teorema de la buena ordenación: "en todo conjunto se puede definir un buen orden". Es decir, en \( \mathbb{C} \) lo podemos definir y hasta aquí, sin problemas.

Ahora bien, lo que no se puede definir en \( \mathbb{C} \) es una relación de orden que satisfaga:

A: Para todo \( x,y \) se verifica una y solo una, de las relaciones \( x=y \) o \( x<y \) o \( y<x \).
B: Si \( x<y \), para todo \( z \) tenemos \( x+z<y+z \).
C: Si \( x>0 \) e \( y>0 \) entonces \( xy>0 \)

Efectivamente, si fuera posible en \( \mathbb{C} \) una relación de orden cumpliendo los tres axiomas anteriores, entonces puesto que \( i\neq{0} \), tendríamos (por A.) que \( i>0 \) o \( i<0 \). Supongamos \( i>0 \), tomando \( x=y=i \), por C, obtenemos \( i^2=-1>0 \). Sumando \( 1 \) a los dos miembros y por el axioma B. obtenemos \( 0>1 \). Por último, aplicando C a \( -1>0 \) se obtiene \( 1>0 \) que según A es absurdo.

Es decir, en los complejos se pueden definir muchas relaciones de orden, ahora bien, ninguna de ellas puede cumplir A, B, C simultaneamente. Como decía Teón, alguna de las buenas propiedades de algunos ordenes que se pueden definir en \( \mathbb{R} \) hay que sacrificar. Un buen ejercicio por ejemplo podría ser cual o cuales de las anteriores se pueden eliminar.

Saludos.

[Jabato]

¿Una pregunta Phidias, esas tres propiedades que tipo de orden definen?

Saludos, Jabato.