[angelabayona]

Chicos me pueden explicar esta demostración paso a paso, no la entiendo en absoluto.

Demuestre que para cualesquiera enteros positivos  \( i \) y \( j \) con\(  i > j \), tenemos

\( T_i (x)T_j(x)= \frac{1}{2}[T_{i+j}(x)T_{i-j}(x)] \)

La solución la encontré en un libro, pero no logro entenderla. Aparece así:

Si \( i >j  \), entonces

\(  \displaystyle \frac{1}{2}(T_{i+j}(x)+ T_{i-j}(x)= \frac{1}{2}(cos(i+j)\theta + cos(i-j)\theta) = cos i \theta cos j \theta = T_i(x)T_j(x)
 \)

[geómetracat]

Entiendo que los \( T_i(x) \) son polinomios de Chebyshev.

Lo que usa en la demostración es la fórmula trigonométrica de sumas a productos. Es una identidad bien conocida que se puede deducir fácilmente a partir de las fórmulas para el coseno de la suma y el coseno de la resta de ángulos.
Mira por ejemplo aquí:
https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/7-4-sum-to-product-and-product-to-sum-formulas

[angelabayona]

Gracias por la ayuda, ya  pude entender la demostración

[carlosbayona]

Pueden explicarme con más detalle esta demostración? ¿Cómo es que se obtienen estos resultados?

[Luis Fuentes]

Hola

Pueden explicarme con más detalle esta demostración? ¿Cómo es que se obtienen estos resultados?

Llamando \( \theta=arccos(x) \) entonces se sabe que:

\( T_n(x)=cos(n\,\color{red}\theta\color{black}) \)

 Entonces:

\( \displaystyle \frac{1}{2}(T_{i+j}(x)+ T_{i-j}(x)= \frac{1}{2}(cos((i+j)\theta) + cos((i-j)\theta))  \)

 Pero dado que \( cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B) \):
 
\( cos(i\theta+j\theta)=cos(i\theta)cos(j\theta)-sin(i\theta)sin(j\theta) \)
\( cos(i\theta-j\theta)=cos(i\theta)cos(j\theta)+sin(i\theta)sin(j\theta) \)

 y por tanto:

\( \dfrac{1}{2}(cos((i+j)\theta) + cos((i-j)\theta)=cos(i\theta)cos(j\theta)=T_i(x)T_j(x) \)

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual)

[ani_pascual]

Hola:

Llamando \( \theta=arccos(x) \) entonces se sabe que:

\( T_n(x)=cos(n\,\textcolor{red}{x}) \)
...

Me parece que se ha colado una errata. ¿No es  \( T_n(x)=cos(n\,\theta) \)?   
Saludos