[angelabayona]

Compañeros del foro, no logro comprender este ejercicio, si algún compañero me puede colaborar les estaré muy agradecida por favor

Construya una base para el núcleo de \( T:R^4\rightarrow{}R^3 \) definida por:
\( \displaystyle T \ (x,y,z,t) = (x+2y+z+2t, -x+y+2z-2t, x-z+2t) \)

[Masacroso]

Compañeros del foro, no logro comprender este ejercicio, si algún compañero me puede colaborar les estaré muy agradecida por favor

Construya una base para el núcleo de \( T:R^4\rightarrow{}R^3 \) definida por:
\( \displaystyle T \ (x,y,z,t) = (x+2y+z+2t, -x+y+2z-2t, x-z+2t) \)

Resuelve primero el sistema de ecuaciones lineales dadas por \( T\mathbf{v}=\mathbf{0} \), siendo \( \mathbf{v}=(x,y,z,t) \) y \( \mathbf{0}=(0,0,0,0) \). Una vez hecho eso, con el número de variables independientes que quedan podrás construir una base del núcleo de \( T \). Pero primero resuelve el sistema y después vemos cómo construir la base.

[angelabayona]

Masacroso gracias por responder pero puedes decirme cómo se forma el sistema? Porque formando el sistema se van encontrar los valores de x,y,z,t ? Cierto? Por favor ayúdame espero no causarte ninguna molestia

[Fernando Revilla]

Masacroso gracias por responder pero puedes decirme cómo se forma el sistema? Porque formando el sistema se van encontrar los valores de x,y,z,t ? Cierto? Por favor ayúdame espero no causarte ninguna molestia

        \( T\mathbf{v}=\mathbf{0}\Leftrightarrow{}\left \{ \begin{matrix}x+2y+z+2t=0\\-x+y+2z-2t=0\\ x-z+2t=0\end{matrix}\right. \)

[angelabayona]

Gracias chicos, intentaré resolverlo.

[angelabayona]

Se forma la matriz con los coeficientes quedando

\( \begin{pmatrix}{1}&{2}&{1}&{2}\\{-1}&{1}&{2}&{-2}\\{1}&{0}&{-1}&{2}\end{pmatrix} \)

Ahora se aplica método de eliminación de Gauss? Chicos porque a mí me da \( x=0 \,  y =0
\,  z=0  \, t=0 \) me pueden decir si estos resultados son correctos? Entonces la base del núcleo de la transformación lineal es un vector nulo? Agradezco la ayuda chicos.

[Fernando Revilla]

  Sigue los pasos

        \( \left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 2 & 0  \\
-1 & 1 & 2 & -2 & 0 \\
1 & 0 & -1 & 2 & 0 \\
\end{array}\right]\begin{matrix}F_2+ F_1\\F_3-F_1\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 3 & 0 & 0  \\
0 & -2 & -2 & 0 & 0 \\
\end{array}\right] \)

        \( \begin{matrix}(1/3)F_2\\(1/2)F_3\end{matrix}\sim\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 2 & 0  \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]
\begin{matrix}F_3+F_2\end{matrix}\sim \left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]
 \)

Queda el sistema escalonado

        \( \left \{ \begin{matrix}{x}&{+2\,y}&{+z} & +2\,t&{=}&0\\{}&{\,y}&{+\;z}& & =& 0.\end{matrix}\right. \)

Ahora procede como en https://fernandorevilla.es/2014/10/18/reduccion-gaussiana/ (ejercicio 3).

[angelabayona]

Entonces \( z = \alpha \; y \; t = \beta  \)

\( x = -2y - \alpha - 2 \beta
 \)
Por favor Fernando estoy en un grave problema. No entiendo cómo hacer las operaciones y mi exposición es en unas horas. Ayúdame a encontrar el núcleo de la transformación lineal. Por favor

[Fernando Revilla]

     No vas a poder avanzar si no estudias cuestiones previas sobre sistemas lineales. Completo el problema sin que sirva de precedente:

        \( \left \{ \begin{matrix}{x}&{+2\,y}&{+z} & +2\,t&{=}&0\\{}&{\,y}&{+\;z}& & =& 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}{x}&{+2\,y}&{=}&{-z} & -2\,t&\\{}&{\,y}&=&   -z\end{matrix}\right. \)

Llamando \( z=\alpha, t=\beta \) obtenemos

         \( \left \{ \begin{aligned}&x=\alpha-2\beta\\
&y=-\alpha\\
&z=\alpha\\
&t=\beta\end{aligned}\right.\;(\alpha,\beta\in\mathbb{R})\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{bmatrix}=\alpha \underbrace{\begin{bmatrix}1\\ -1\\ 1\\0\end{bmatrix}}_{v_1}+\beta \underbrace{\begin{bmatrix}-2\\ 0\\ 0\\1\end{bmatrix}}_{v_2} \)

Los vectores \( v_1,v_2 \) generan \( \ker T \) y son linealmente independientes, por tanto una base pedida es \( B_{\ker T}=\left\{{v_1,v_2}\right\} \).

[angelabayona]

Fernando muchas gracias y perdona la molestia, este tema me a costado demasiado comprenderlo. Entonces la base para el núcleo de la transformación Lineal es\( \displaystyle \ ( 1, -1, 1, 0 ) \ (-2, 0, 0, 1)   \)?