Hola, pueden detallarme como se resuelve este ejercicio ? Sea \( A = \begin{pmatrix}{-1}&{2}&{-1}\\{0}&{-1}&{2}\\{2}&{-1}&{0}\end{pmatrix} \)
\( B =\begin{pmatrix}{-3}&{1}&{2}\\{2}&{3}&{-1}\\{12}&{7}&{-7}\end{pmatrix} \)
y \( X \) matrices tales que \( XA=B \)
Hallar la Matriz X y el rango de la matriz B. Determinar de ser posible la inversa de la matriz X
- Primero: si \( \det A\neq 0 \) (que es el caso) entonces \( A \) es invertible y por tanto \( XA=B\Leftrightarrow XAA^{-1}=BA^{-1}\Leftrightarrow X=BA^{-1} \), así que calculas \( A^{-1} \) multiplicas y así hallas \( X \).
- Segundo, si \( \det B\neq 0 \) significa que el rango de \( B \) es máximo, que en este caso sería tres. Si \( \det B=0 \) entonces el rango es cero, uno o dos. Suponiendo que \( \det B=0 \) entonces
1. El rango es dos si la matriz tiene dos vectores columna linealmente independientes.
2. El rango es uno si ningún par de vectores columna es linealmente independiente pero al menos un vector columna es distinto de cero.
3. El rango es cero si \( B \) es la matriz nula (cero en todos sus coeficientes, lo cual no es el caso).
Ahora bien, dos vectores \( (a_1,a_2,a_3) \) y \( (b_1,b_2,b_3) \) son linealmente independientes si la única solución para el sistema lineal de ecuaciones \( \lambda a_k=\eta b_k \) (para \( k=1,2,3 \)) es \( \lambda =\eta =0 \). Otra forma de verificar que estos dos vectores son linealmente independientes es ver que \( \det\left(\begin{smallmatrix}a_k&a_j\\b_k&b_j\end{smallmatrix}\right)\neq 0 \) para algún par \( j,k\in\{1,2,3\} \) (con \( j\neq k \)), en otro caso serían linealmente dependientes.
- Tercero, \( X \) tendrá inversa si resulta que \( B \) es invertible, ya que \( X=BA^{-1}\Rightarrow X^{-1}=(BA^{-1})^{-1}=AB^{-1} \) (ya que \( RSS^{-1}R^{-1}=I\Rightarrow (RS)^{-1}=S^{-1}R^{-1} \)).
Con lo dicho ya deberías ser capaz de resolver el ejercicio.
Se me adelantó ingmarov por unos segundos.
