Saludos amigos del foro, será que me podéis dar una mano con este ejercicio? Traté de transcribirlo en latex pero se me complicó a la hora de establecer tantos paréntesis para respetar las jerarquías de las operaciones, me volví un desastre

Saludos amigos, ojalá alguno de ustedes lo entienda y me ayude.

 Pruebe que :

\( \displaystyle f \ (x,y) = x^2 |y| \)

satisface  una  condición  de  Lipschitz  sobre  la  región  \( \displaystyle |x| ≤ 1 \ ,  |y| ≤ 1, \)  pero  que \( \displaystyle   \frac{\partial f}{\partial y}   \) no existe en muchos puntos  de  dicho  rectángulo.

Amigos necesito ayuda con esta demostración:
A la verdad no la entiendo. Si algún compañero se puede tomar el tiempo de ayudarme le estaré eternamente agradecida.
Sea  \( A  \) un Álgebra de conjuntos y  \(  \mu  \) una función aditiva definida En  \(  A \) con valores en   \( \bar{R} _+. \)
Demostrar que:
1) si  \(  A,B \in{}A  \), tales que  \( A \subset{}B \) entonces;  \(  \mu \ (A) \leq{} \mu \ (B) \)

2) si  \( A,B \in{} A \) y  \(  \mu \ (A)< \infty \), entonces
 \(  \mu \ ( B - A)= \mu \ (B) - \mu \ (A)  \)

Hola amigos, quiero saber si este ejercicio lo he realizado correctamente: agradezco su ayuda. Si hay alguna mejor manera de realizarlo me gustaría mucho sus aportes por favor.

Considere la matriz

\( A =  \begin{bmatrix}{0}&{0}&{-2}\\{0}&{-2}&{0}\\{-2}&{0}&{3}\end{bmatrix} \)

a) explique si la matriz A es o no diagonalizable.
b) en caso afirmativo, Hallar una matriz inversible P, tal que \( P^{-1}AP  \) sea una matriz diagonal.

Esto fue lo que hice:

Primero calcular los autovalores y autovectores

Valor \(  4 \) vector propio : \(  \begin{pmatrix}{- \frac{1}{2}}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}  \)

Valor \( -1  \) vector propio \(  \begin{pmatrix}{2}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \)

Valor \( -2  \) vector propio \(  \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix} \)

Se Forma la matriz P, cuya columna i es el vector propio  \(  i: P = \left[\begin{array}{ccc}- \frac{1}{2} & 2 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{array}\right] \)

Luego la matriz diagonal \(  D  \) cuya elemento en la fila i, la columna i es el valor propio \(  i: D = \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right] \)


Entonces ⎣las matrices Las matrices P y D son tales que la matriz inicial es  \(  \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -2\\0 & -2 & 0\\-2 & 0 & 3\end{array}\right] = P D P^{-1}  \)

⎣
⎡Entonces :


​\(  P = \begin{bmatrix}{- \frac{1}{2}}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix} \)

\(  D = \begin{bmatrix}{4}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{-2}\end{bmatrix} \)
 Que me dicen chicos?

Que tipo de sistema es el siguiente y de ser posible, resolverlo

\( \begin{cases} x + y - z + 2w = -6\\
y+z -w = -1\\
x - y + 3 z = 0\\
2x - 3y -z + 2w= -6\end{cases} \)

Corregido desde la moderación.

Chicos les escribo nuevamente para que me ayuden con estos ejercicios, pueden explicarme paso a paso? No han enviado un cuestionario para práctica un examen, pero no entiendo. Veo que lo que nos dieron en clases es diferente a lo que nos han enviado. Espero puedan ayudarme. Necesito la explicación.

1) \(  \max~ _ {t \in [a,b]} ~ | t' (t)|  \)

2) \(  ( \max~ _ {t \in [a,b] } ~  | t' (t) | ) + | x (a) |  \)

b) Las normas \(  \|   ~ \|_1  \) y  \(  \|   ~  \|_2  \)  se dicen equivalentes, si y solo si, existen números reales, \(  \alpha > 0 ,\, \beta > 0  \) tales que \(  \alpha \|  ~ \|_1 \le \|  ~  \|_2 \le   \beta \| ~ \|_1  \).

Considere la relación \(  \| ~   \|_1 \sim  \| ~  \|_2  \) si y solo si, \(   \|   ~ \|_1  \) y \(  \| ~  \|_2  \) son equivalentes, compruebe que \( \sim  \) es una relación de equivalencia.

c) considere \(    (X, \| ~  \| )  \) espacio de Banach, pruebe que \(  ( X  \times  X,\|  ~ \|_0 )  \) donde \(  \| ( x,y) \|_0  = \max ( \|  x \|, ~ \|y\| )  \) es un espacio de Banach.


\( \LaTeX \) corregido por la moderación. Para denotar una norma se debe escribir \| en vez de ||, y para denotar el producto cartesiano se escribe \times en vez de x.

Necesito ayuda con esta demostración. Espero puedan darme una mano, lo necesito mucho.

Demuestre que si toda esfera cerrada en un espacio métrico es completa, el espacio es completo.

Publico este ejercicio para que me expliquen como resolverlo, estoy confundida. No entiendo cuando dice que 

"donde el producto \( ( u + v ) \cdot ( u + v) \) sea la suma de los cuadrados de las longitudes de \( u \) y \( v \), para todo par de vectores \(  u , v \in B \subset\Bbb R^4 \)"

Este es el ejercicio:
Hallar una base \( B \) del subespacio generado por \( ( 1, -2, 3, 1), \ ( 2, -1, 1, 3) \) y \( ( 4, 1, 1, -1)  \) donde el producto \(  ( u + v ) \cdot ( u + v) \) sea la suma de los cuadrados de las longitudes de \( u \) y \( v \), para todo par de vectores \(  u , v \in B \subset\Bbb R^4 \).

Ortografía y \( \LaTeX \) corregido por la moderación.

Hola pido la ayuda porque no entiendo los conceptos, he visto vídeos, leído documentos y de verdad no entiendo, que conocimientos previos debo de tener para entender bien los conceptos de topología? De teoría de conjuntos tengo conocimiento, pero, hay algo más que debería saber para poder entender? Espero me ayuden porque me interesa aprender. En estos momentos estoy en un grado de frustración, queriendo abandonar pero sé que no es lo que debo hacer, sino vencer la dificultad que se me presente.
Sea X, un espacio métrico demuestre que si \(  A , B \subset{}X \) son completos, entonces \(  A \cup{}B  \) es completo.

Los siguientes datos fueron obtenidos de un experimento para encontrar la variación de la resistencia a la compresión del concreto a los 28 días de fraguado
con  respecto a la relación agua/cemento con que fue fabricado.



Obtenga la recta de regresión de la resistencia a la compresión del concreto contra el logaritmo natural de la relación agua/cemento.
Que pasos debo hacer? Cual es el método mas apropiado? Adjunto la tabla. Agradezco la orientación que puedan darme.