Hola
cibernaco: deberías de revisar con cuidado los enunciados.
a)Sea L una recta y \( \pi \) un plano. Si L\( \cap{}\pi \)=0 entonces existen infinitos puntos pertenecientes al plano Z talque la distancia de ellos a la recta L coincide con la distancia entre L y \( \pi \)
En primer lugar cuando dices que la intersección es cero eso no tiene sentido. Puede entenderse desde dos puntos de vista:
1- Que la intersección es el origen.
2- Que la intersección es el conjunto vacío.
Creo que en realidad te refieres a la segunda. En ese caso tenemos (sobreentiendo que en el espacio) una recta y un plano que no se cortan y por tanto paralelos.
El otro detalle extraño es que hables del plano \( Z \). ¿Te refieres al plano coordenado \( Z \)?. En cualquier caso si la distancia de \( L \) a \( \pi \) es \( d \), los puntos a distancia \( d \) de la recta \( L \) están en el cilindro de eje \( L \) y radio \( d \). Cualquier plano lo corta en infinitos puntos y por tanto siempre hay infinitos puntos en tal plano a distancia \( d \) de \( L. \)
b) Sea L una recta y \( \pi \) un plano tal que L\( \cap{}\pi \)=0.Existe un unico plano que equidista de L y \( \pi \)
Ahora de nuevo entiendo que ese "cero" se refiere a interescción vacía.
Entiendo que se trata por tanto de un plano y una recta paralelos. El único plano que equidista de ambos es un plano paralelo al dado "en medio" de recta y plano. Para justificarlo algebraicamente, podemos elegir una referencia rectangular de manera que el origen sea un punto de la recta, el primer vector de la base el vector director de la recta, el segundo uno perpendicular a él contenido en el plano y el tercero su producto vectorial (todos ellos de norma uno).
En tal base la ecuación de la recta es \( y=0,\quad z=0 \).
La ecuación del plano es \( x-d=0 \). La distancia entre ambos es \( d \) (que podemos suponer positivo orientando adecuadamente la base).
Ahora otro plano que no esté a distiancia cero del dado no puede cortarlo; por tanto es paralelo a él de la forma \( x-a=0 \).
La distancia entre ambos planos es \( |a-d| \) y debe de coincidir con \( d/2 \). De ahí:
\( |a-d|=d/2\quad \Leftrightarrow{}\quad a=3d/2 \) ó \( a=d/2 \)
La distancia entre el planoa \( x-a=0 \) y la recta dada debe de coincidir también con \( d/2 \). De ahí:
\( |a|=d/2\quad \Leftrightarrow{}\quad a=-d/2 \) ó \( a=d/2 \)
Combinando ambas condiciones vemos que el único valor de \( a \) verificando lo pedido es \( a=d/2 \).
Saludos.