[cibernarco]

Analizar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En caso de ser verdaderas demostrarlas y en caso de ser falsas ,mostrar un cotraejemplo la falsedad.

a)Sea L una recta y \( \pi \) un plano. Si L\( \cap{}\pi \)=0 entonces existen infinitos puntos pertenecientes al plano Z talque la distancia de ellos a la recta L coincide con la distancia entre L y \( \pi \)

b) Sea L una recta y \( \pi \) un plano tal que L\( \cap{}\pi \)=0.Existe un unico plano que equidista de L y \( \pi \)

Espero puedan ayudarme con este ejercicio de final de algebra I.Saludos!

[feriva]

Analizar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En caso de ser verdaderas demostrarlas y en caso de ser falsas ,mostrar un cotraejemplo la falsedad.

a)Sea L una recta y \( \pi \) un plano. Si L\( \cap{}\pi \) entonces existen infinitos puntos pertenecientes al plano Z talque la distancia de ellos a la recta L coincide con la distancia entre L y \( \pi \)

b) Sea L una recta y \( \pi \) un plano tal que L\( \cap{}\pi \)=0.Existe un unico plano que equidista de L y \( \pi \)

Espero puedan ayudarme con este ejercicio de final de algebra I.Saludos!

Respuestas erróneas

Spoiler

a)  Cierto, existe algún plano Z; basta pensar en un plano paralelo a \( \pi \) que sea intersectado también por L, por simetría encontraremos distancias iguales

B) Falso en general, si pensamos, por ejemplo, en un plano paralelo a la recta, al menos existirá el plano simétrico respecto de la recta.


(no obstante, está pensado muy deprisa y a lo mejor no veo algo, pero aún así espero que te sirva de algo)

 Saludos.

[cerrar]

[cibernarco]

Disculpa en el inciso a) tuve un error la interseccion es igual a cero tambien, como seria demostrarlo?

[teeteto]

B) Falso en general, si pensamos, por ejemplo, en un plano paralelo a la recta, al menos existirá el plano simétrico respecto de la recta.

Cuidado!

El plano simétrico a la recta no equidista de la recta y del plano.

[cibernarco]

no entendi perdon 

[feriva]

no entendi perdon 

 Sí, lo he interpretado mal, tiene razón Teeteto. Lo que en realidad dice es que si consideras un plano entre medias de la recta y el plano que te dan, de forma que la distancia de este plano a la recta sea la misma que la distancia al plano dado, dicho plano es único.

Es cierto, ya que, para que se cumpla esto, el plano que consideres tiene que ser paralelo tanto a la recta como al plano dado; es condición necesaria pero no suficiente, existen infinitos que lo cumplen. Pero sólo uno es equidistante a la recta y al plano dado. 

 El primer apartado tampoco lo había interpretado bien, pero como no era ésa la condición no importa ya. Entonces, ahí sí que puedes considerar un plano simétrico al dado respecto de la recta, tomando ésta como base de una simetría. Y sí existen entonces esos infinitos puntos.

 Saludos.

[feriva]

B) Falso en general, si pensamos, por ejemplo, en un plano paralelo a la recta, al menos existirá el plano simétrico respecto de la recta.

Cuidado!

El plano simétrico a la recta no equidista de la recta y del plano.

Gracias, Teeteto, había leído mal.

 Saludos.

[cibernarco]

En el inciso a) si el plano \( /pi  \) fuera el plano Z, entonces seria falso?

[feriva]

En el inciso a) si el plano \( /pi  \) fuera el plano Z, entonces seria falso?

Yo no entendería eso.

Tienes

\( \pi\cap L=0;\, v\in L\Rightarrow\exists\lambda v\in\pi \)

y es obvio que existen los vectores perpendiculares hacia un lado y otro de la recta

\( w\perp v \) y \( -w\perp v \)

Donde “w” y “-w” tienen el mismo modulo; tu suposición implicaría que el módulo de “w” fuera cero (si lo que quieres decir es que no existe más plano que pi para dar ese conjunto de puntos) pero en ese caso la recta pertenecería al plano y sería mentira que la intersección es cero. Luego existe un plano simétrico respecto de \( \pi \) sobre el que también se proyectan los puntos de L.

[Luis Fuentes]

Hola

 cibernaco: deberías de revisar con cuidado los enunciados.

a)Sea L una recta y \( \pi \) un plano. Si L\( \cap{}\pi \)=0 entonces existen infinitos puntos pertenecientes al plano Z talque la distancia de ellos a la recta L coincide con la distancia entre L y \( \pi \)

En primer lugar cuando dices que la intersección es cero eso no tiene sentido. Puede entenderse desde dos puntos de vista:

1- Que la intersección es el origen.

2- Que la intersección es el conjunto vacío.

Creo que en realidad te refieres a la segunda. En ese caso tenemos (sobreentiendo que en el espacio) una recta y un plano que no se cortan y por tanto paralelos.

El otro detalle extraño es que hables del plano \( Z \). ¿Te refieres al plano coordenado \( Z \)?. En cualquier caso si la distancia de \( L \) a \( \pi \) es \( d \), los puntos a distancia \( d \) de la recta \( L \) están en el cilindro de eje \( L \) y radio \( d \). Cualquier plano lo corta en infinitos puntos y por tanto siempre hay infinitos puntos en tal plano a distancia \( d \) de \( L. \)

b) Sea L una recta y \( \pi \) un plano tal que L\( \cap{}\pi \)=0.Existe un unico plano que equidista de L y \( \pi \)

Ahora de nuevo entiendo que ese "cero" se refiere a interescción vacía.

Entiendo que se trata por tanto de un plano y una recta paralelos. El único plano que equidista de ambos es un plano paralelo al dado "en medio" de recta y plano. Para justificarlo algebraicamente, podemos elegir una referencia rectangular de manera que el origen sea un punto de la recta, el primer vector de la base el vector director de la recta, el segundo uno perpendicular a él contenido en el plano y el tercero su producto vectorial (todos ellos de norma uno).

En tal base la ecuación de la recta es \( y=0,\quad z=0 \).

La ecuación del plano es \( x-d=0 \). La distancia entre ambos es \( d \) (que podemos suponer positivo orientando adecuadamente la base).

Ahora otro plano que no esté a distiancia cero del dado no puede cortarlo; por tanto es paralelo a él de la forma \( x-a=0 \).

La distancia entre ambos planos es \( |a-d| \) y debe de coincidir con \( d/2 \). De ahí:

\( |a-d|=d/2\quad \Leftrightarrow{}\quad a=3d/2 \) ó \( a=d/2 \)

La distancia entre el planoa \( x-a=0 \) y la recta dada debe de coincidir también con \( d/2 \). De ahí:

\( |a|=d/2\quad \Leftrightarrow{}\quad a=-d/2 \) ó \( a=d/2 \)

Combinando ambas condiciones vemos que el único valor de \( a \) verificando lo pedido es \( a=d/2 \).

Saludos.