Antes de nada, presta atención cuando escribes el enunciado, en particular si lo transcribes desde otro idioma como el catalán (como supongo que es el caso). Se te ha colado una "i" en vez de "y", y un "nombre" en vez de"número".
Como \[ P_G(k) \] es el número total de \[ k \]-coloraciones propias, basta probar que el número de \[ k \]-coloraciones con el vértice \[ v \] de color \[ c \] es el mismo para todo \[ c \]. Entonces habrá \[ P_G(k)/k \] coloraciones con \[ v \] de un color concreto.
Para ello, observa que una una biyección entre las coloraciones que tienen \[ v \] de color \[ c \] y las que lo tienen de color \[ c' \] que se obtiene simplemente intercambiando los colores \[ c,c' \].
