[carambola]

Clacular el límite de la sucesión $$\{n \cdot{} \sqrt[ n+1]{2}-n\}$$


Graciass

[Juan Pablo Sancho]

Pon \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \cdot \sqrt[n+1]{2} - n = \lim_{n \to +\infty}  \dfrac{n}{n+1} \cdot (n+1) \cdot (\sqrt[n+1]{2}-1)  \)

[carambola]

Pero nos sigue dando IND no?

[Luis Fuentes]

Hola

 Por ejemplo:

\(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(n)=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}f(1/x) \)

 Entonces:

\(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}n(\sqrt[n]2-1)=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}\dfrac{2^x-1}{x} \)

 Eso es justo la definición de la derivada de \( 2^x \) en \( x=0 \) (o aplica L'Hopital).

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Lo mismo (o parecido)
Tenemos que si \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \alpha_n = 0 \) y \( \forall n \in \mathbb{N}  \) tenemos que \( \alpha_n \neq 0  \) entonces:
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1+\alpha_n)^{\frac{1}{\alpha_n}} = e \)
\( \displaystyle 2 = (\sqrt[n]{2})^n = ((1+(\sqrt[n]{2}-1))^{\dfrac{1}{\sqrt[n]{2}-1}})^{n \cdot (\sqrt[n]{2} - 1)}  \)

Entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \cdot (\sqrt[n]{2} - 1) = \cdots  \).