[carambola]

Sean $$x, y, z$$ enteros diferentes de cero tales que $$mcd(x, y)=1$$.

Provad que $$mcd(x, y\cdot z)=mcd(x,z)$$

Muchas gracias!

[delmar]

Hola

Suponiendo que \( mcd(x,z)=k \Rightarrow{x=ku, \ \ z=kv} \) donde \( u,v \) son primos entre si. En consecuencia \( mcd(x,y.z)=mcd(ku,ykv) \) evidentemente mcd(x,y.z)=k=mcd(x,z)
u no puede ser factor por que es primo con v y no es factor de y, ni ninguno de los posibles divisores de u


Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Parecido:
Sea \( d = mcd(x,yz)  \) como \( d|x \) y \( d|yz  \) por el lema de Euclides \( d|z \) ( por \( mcd(x,y)=1  \))entonces \( d|mcd(x,z)  \)
Sea \( h = mcd(x,z)  \) como \( h|x \) y \( h|z  \) entonces \( h|mcd(x,yz) \)
De \( h|d \) y \( d|h  \) tenemos \( h=d \)

[manooooh]

Hola

Mira por aquí: https://math.stackexchange.com/q/1339198

Saludos