Demuestra la siguiente igualdad:


$$(\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_kb_k})^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^n{a_k^2} \displaystyle\sum_{k=1}^n{b_k^2} - \displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{j=1}^n{(a_ib_j-a_jb_i)^2}$$

No lo he entendido muy bien... y el $$3^n$$ que está dividiendo??

Muchas gracias!!

Calcular la suma de la siguiente serie:

$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n \frac{n^3-n+1}{3^n \cdot n!}}$$

Creo que es muy poco eficiente ya que luego tendríamos que aplicar 2 veces más Hopital, y la expresión resultante sale muy fea.

Estudad si la series es convergente:

$$ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(e-(1+\frac{1}{n})^n)}$$


Graciass

Pero nos sigue dando IND no?

Sean $$A$$ y $$B$$ conjuntos de cardinal $$n$$ y $$m$$, resoectivamente. Cuantas aplicaciones hay de $$A$$ a $$B$$ tal que su conjunto imagen tenga cardinal $$k$$ (suponed que $$k \leq{n,m}$$)


Gracias!!

Estudiar el carácter de la serie para valores de $$\alpha > 0$$

$$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{(\alpha - \sqrt[2]{\alpha})(\alpha - \sqrt[3]{\alpha})\ldots(\alpha - \sqrt[n]{\alpha})}$$

Gracias.

Sea $$f:[0,1] \to \mathbb{R}$$ dada por

$$f(x)=\begin{cases}{sin(\frac{1}{x})}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$

Probad que f es integrable y que la función $$F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)dt $$ cumple que $$|F(x)| \leq 3x^2$$ para todo $$x \in [0,1]$$
 
Para ello, considerad que
$$ \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)dt =  \displaystyle\int_{0}^{x^2} f(t)dt +  \displaystyle\int_{x^2}^{x} f(t)dt$$
Y luego aplicar el cambio de variable en la segunda integral : $$\frac{1}{t}= u$$ y aplicar el 2o TVM para integrales:

" Sea $$ g: [a, b] →\mathbb{R} $$ una función monotona con derivada continua y sea $$f: [a, b] →  \mathbb{R}$$  una función continua. Entonces, existe un punto c ∈ [a, b] tal que
$$ \displaystyle\int_{a}^{b} f(t)g(t)dt = g(a) \displaystyle\int_{a}^{c} f(t)dt + g(b) \displaystyle\int_{c}^{b} f(t)dt "$$

Equivalentemente:

\( \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt>0 \)

Concluye...

Saludos.

CORREGIDO

Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
 el final?