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Mensajes - carambola

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Cálculo 1 variable / Re: TVM Integrales
« en: 28 Abril, 2021, 12:42 am »
En como aplicar el TVM en este caso y luego llegar a la desigualdad.

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Cálculo 1 variable / TVM Integrales
« en: 27 Abril, 2021, 07:07 pm »
Sea $$f:[0,1] \to \mathbb{R}$$ dada por

$$f(x)=\begin{cases}{sin(\frac{1}{x})}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$

Probad que f es integrable y que la función $$F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)dt $$ cumple que $$|F(x)| \leq 3x^2$$ para todo $$x \in [0,1]$$
 
Para ello, considerad que
$$ \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)dt =  \displaystyle\int_{0}^{x^2} f(t)dt +  \displaystyle\int_{x^2}^{x} f(t)dt$$
Y luego aplicar el cambio de variable en la segunda integral : $$\frac{1}{t}= u$$ y aplicar el 2o TVM para integrales:

" Sea $$ g: [a, b] →\mathbb{R} $$ una función monotona con derivada continua y sea $$f: [a, b] →  \mathbb{R}$$  una función continua. Entonces, existe un punto c ∈ [a, b] tal que
$$ \displaystyle\int_{a}^{b} f(t)g(t)dt = g(a) \displaystyle\int_{a}^{c} f(t)dt + g(b) \displaystyle\int_{c}^{b} f(t)dt "$$

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Cálculo 1 variable / Re: Estudio de funciones
« en: 27 Abril, 2021, 12:39 pm »
Hola

Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
 el final?

¿Qué has intentado?¿Exactamente qué es lo que no logras concluir?.

Saludos.

Que $$\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t) f(t)dt > 0$$

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Cálculo 1 variable / Re: Estudio de funciones
« en: 27 Abril, 2021, 12:28 pm »

Equivalentemente:

\( \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt>0 \)

Concluye...

Saludos.

CORREGIDO

Tenías razón ese término con f(0) sobraba. Ahora como concluímos
 el final?

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Cálculo 1 variable / Re: Estudio de funciones
« en: 27 Abril, 2021, 12:04 pm »
He hecho la derivada pero no se como llegas a la primera igualdad que me ex¡scribes. He llegado  a que

$$ g'(x) \geq{0} \Longleftrightarrow{} xf(x) \displaystyle\int_{0}^{x}(f(t)dt) - f(x)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt) + f(0)\displaystyle\int_{0}^{x}(tf(t)dt)$$

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Cálculo 1 variable / Estudio de funciones
« en: 27 Abril, 2021, 11:05 am »
Sea $$f:[0,+\infty) \to (0, + \infty)$$ continua. Probad que la siguiente función es creciente en $$[0, + \infty)$$

$$ g(x) =\begin{cases}{\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(t)dt}{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt}}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$


Graciass

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Teoría de grafos / Invariante de grafos
« en: 19 Abril, 2021, 06:16 pm »
Probar formalemente que la secuencia de grados es una invariante del isomorfismo de grafos:

Para todo vèrtice se tiene que $$d(u) = d(f(u))$$ donde $$f$$ es una biyección que determina el isomorfismo

Gracias

8
Teoría de grafos / Grafo euleriano
« en: 18 Abril, 2021, 12:05 am »
Sea $$G$$ un grafo conexo euleriano y sea $$\{A,B\}$$ una partición de $$V(G)$$. Probad que el número de aristas con un extremo sobre $$A$$ y el otro sobre $$B$$ es par.

9
Sea $$f:[a, b] \to \mathbb{R}$$ una función acotada y integrable en $$[a, c]$$ para todo $$c \in (a, b)$$. Probad que f es integrable en $$[a, b]$$ y que $$\int_{a}^{b}f=\lim_{c \to{b^-}}{\int_{a}^{c}f}$$

Muchas gracias

10
Probar por inducción, sin utilizar  la caracterización de Lebesgue que:

Si una función acotada en $$[a, b]$$ es continua excepto en una cantidad finita de discontinuidades de primera especie, luego $$f$$ es integrable Riemann.

Gracias

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Cálculo 1 variable / Integral
« en: 07 Abril, 2021, 09:26 pm »
Probad la siguiente igualdad:

Para toto $$x \in{[0, \frac{\pi}{2}]}$$

$$\displaystyle\int_{0}^{cos^2(x)}arccos(\sqrt{t})dt + \displaystyle\int_{0}^{sen^2(x)}arcsen(\sqrt{t})dt = \frac{\pi}{4}$$

Puede ser útil usar la siguiente igualdad:

$$ arcsen(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$$ para todo $$x \in{[-1, 1]}$$

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Teoría de grafos / Grafos
« en: 06 Abril, 2021, 07:17 pm »
Demostrar la siguiente proposición:

Sea \( G = (V, E) \) un grafo conexo y $$E',\widehat{E}\subset E$$ tal que el grafo \( (V, E) \) no tiene ciclos y $$|E'|<|\widehat{E}|$$. Probar que existe $$e\in \widehat{E}$$ que conecta vértices de diferentes componentes conexas del grafo \( (V, E') \).


Gracias!!

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Cálculo 1 variable / Integral
« en: 29 Marzo, 2021, 06:55 pm »
Como resolver la siguiente integral

$$\displaystyle\int \sqrt{\frac{2+3x}{x-3}}$$

Gracias!

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Teoría de grafos / generalización de la ecuación de euler
« en: 27 Marzo, 2021, 10:48 am »
Como se probaría formalmente lo siguienete:

Todo grafo planar (no necesariamente conexo) \( G = (V, E) \) con \( k \) componentes conexas, cumple que \( |V| − |E| + |F| = k + 1 \).

(*) \( |F| \) es el número de caras del grafo

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Cálculo 1 variable / Re: Integrabilidad Riemann
« en: 23 Marzo, 2021, 07:33 pm »
Habría alguna manera de hacerlo con la definición de integrabilidad de Riemann

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Cálculo 1 variable / Integrabilidad Riemann
« en: 23 Marzo, 2021, 06:08 pm »
como se demostraría lo siguiente?

Si f es una función fitada y par. Si f es integrable Riemann en [0,a], entonces también lo es en [-a,0]. Y la integral es la misma

Gracias

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Cálculo 1 variable / Re: Series
« en: 22 Marzo, 2021, 05:25 pm »
Perfecto, muchas gracias. Y para calcular el límite al infinito?

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Cálculo 1 variable / Series
« en: 22 Marzo, 2021, 04:46 pm »
Como se calcularía el sguiente sumatorio y , su límite cuando n tiende a infinito

$$\displaystyle\sum_{i=1}^n{(e^{\frac{b}{n}i}\cdot \frac{b}{n})}$$

Graciass

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Trigonometría y Geometría Analítica / Igualdad trigonométrica
« en: 21 Marzo, 2021, 08:58 pm »
Probar la siguiente igualdad trigonomètrica

$$sin(x)=\frac{2tan(x/2)}{1+tan^2(x/2)}$$

Gracias!

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Teoría de grafos / Excentridad de vértices
« en: 07 Marzo, 2021, 06:51 pm »
Hola. Como se demostraría est0:

Si en un grafo conexo G, un vértcie $$v$$ tiene excentridad $$h$$, comprobad que la excentridad de los vecinos de $$v$$ es o bien $$h$$, o bien $$h+1$$, o bien $$h-1$$.

Muchas gracias

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