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Temas - carambola

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Cálculo 1 variable / TVM Integrales
« en: 27 Abril, 2021, 07:07 pm »
Sea $$f:[0,1] \to \mathbb{R}$$ dada por

$$f(x)=\begin{cases}{sin(\frac{1}{x})}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$

Probad que f es integrable y que la función $$F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)dt $$ cumple que $$|F(x)| \leq 3x^2$$ para todo $$x \in [0,1]$$
 
Para ello, considerad que
$$ \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)dt =  \displaystyle\int_{0}^{x^2} f(t)dt +  \displaystyle\int_{x^2}^{x} f(t)dt$$
Y luego aplicar el cambio de variable en la segunda integral : $$\frac{1}{t}= u$$ y aplicar el 2o TVM para integrales:

" Sea $$ g: [a, b] →\mathbb{R} $$ una función monotona con derivada continua y sea $$f: [a, b] →  \mathbb{R}$$  una función continua. Entonces, existe un punto c ∈ [a, b] tal que
$$ \displaystyle\int_{a}^{b} f(t)g(t)dt = g(a) \displaystyle\int_{a}^{c} f(t)dt + g(b) \displaystyle\int_{c}^{b} f(t)dt "$$

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Cálculo 1 variable / Estudio de funciones
« en: 27 Abril, 2021, 11:05 am »
Sea $$f:[0,+\infty) \to (0, + \infty)$$ continua. Probad que la siguiente función es creciente en $$[0, + \infty)$$

$$ g(x) =\begin{cases}{\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(t)dt}{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt}}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x = 0\end{cases}$$


Graciass

3
Teoría de grafos / Invariante de grafos
« en: 19 Abril, 2021, 06:16 pm »
Probar formalemente que la secuencia de grados es una invariante del isomorfismo de grafos:

Para todo vèrtice se tiene que $$d(u) = d(f(u))$$ donde $$f$$ es una biyección que determina el isomorfismo

Gracias

4
Teoría de grafos / Grafo euleriano
« en: 18 Abril, 2021, 12:05 am »
Sea $$G$$ un grafo conexo euleriano y sea $$\{A,B\}$$ una partición de $$V(G)$$. Probad que el número de aristas con un extremo sobre $$A$$ y el otro sobre $$B$$ es par.

5
Sea $$f:[a, b] \to \mathbb{R}$$ una función acotada y integrable en $$[a, c]$$ para todo $$c \in (a, b)$$. Probad que f es integrable en $$[a, b]$$ y que $$\int_{a}^{b}f=\lim_{c \to{b^-}}{\int_{a}^{c}f}$$

Muchas gracias

6
Probar por inducción, sin utilizar  la caracterización de Lebesgue que:

Si una función acotada en $$[a, b]$$ es continua excepto en una cantidad finita de discontinuidades de primera especie, luego $$f$$ es integrable Riemann.

Gracias

7
Cálculo 1 variable / Integral
« en: 07 Abril, 2021, 09:26 pm »
Probad la siguiente igualdad:

Para toto $$x \in{[0, \frac{\pi}{2}]}$$

$$\displaystyle\int_{0}^{cos^2(x)}arccos(\sqrt{t})dt + \displaystyle\int_{0}^{sen^2(x)}arcsen(\sqrt{t})dt = \frac{\pi}{4}$$

Puede ser útil usar la siguiente igualdad:

$$ arcsen(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$$ para todo $$x \in{[-1, 1]}$$

8
Teoría de grafos / Grafos
« en: 06 Abril, 2021, 07:17 pm »
Demostrar la siguiente proposición:

Sea \( G = (V, E) \) un grafo conexo y $$E',\widehat{E}\subset E$$ tal que el grafo \( (V, E) \) no tiene ciclos y $$|E'|<|\widehat{E}|$$. Probar que existe $$e\in \widehat{E}$$ que conecta vértices de diferentes componentes conexas del grafo \( (V, E') \).


Gracias!!

9
Cálculo 1 variable / Integral
« en: 29 Marzo, 2021, 06:55 pm »
Como resolver la siguiente integral

$$\displaystyle\int \sqrt{\frac{2+3x}{x-3}}$$

Gracias!

10
Teoría de grafos / generalización de la ecuación de euler
« en: 27 Marzo, 2021, 10:48 am »
Como se probaría formalmente lo siguienete:

Todo grafo planar (no necesariamente conexo) \( G = (V, E) \) con \( k \) componentes conexas, cumple que \( |V| − |E| + |F| = k + 1 \).

(*) \( |F| \) es el número de caras del grafo

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Cálculo 1 variable / Integrabilidad Riemann
« en: 23 Marzo, 2021, 06:08 pm »
como se demostraría lo siguiente?

Si f es una función fitada y par. Si f es integrable Riemann en [0,a], entonces también lo es en [-a,0]. Y la integral es la misma

Gracias

12
Cálculo 1 variable / Series
« en: 22 Marzo, 2021, 04:46 pm »
Como se calcularía el sguiente sumatorio y , su límite cuando n tiende a infinito

$$\displaystyle\sum_{i=1}^n{(e^{\frac{b}{n}i}\cdot \frac{b}{n})}$$

Graciass

13
Trigonometría y Geometría Analítica / Igualdad trigonométrica
« en: 21 Marzo, 2021, 08:58 pm »
Probar la siguiente igualdad trigonomètrica

$$sin(x)=\frac{2tan(x/2)}{1+tan^2(x/2)}$$

Gracias!

14
Teoría de grafos / Excentridad de vértices
« en: 07 Marzo, 2021, 06:51 pm »
Hola. Como se demostraría est0:

Si en un grafo conexo G, un vértcie $$v$$ tiene excentridad $$h$$, comprobad que la excentridad de los vecinos de $$v$$ es o bien $$h$$, o bien $$h+1$$, o bien $$h-1$$.

Muchas gracias

15
Cálculo 1 variable / Cálculo de límites
« en: 07 Marzo, 2021, 05:18 pm »
Calcular el siguiente límite según el valor de $$a \in{\mathbb{R}}$$ :

$$\displaystyle\lim_{t \to{}0}{(t^{-a}(1-cos(t))}$$

Creo que sería de gran utilidad utilizar el polionomio de Maclaurin

Muchas gracias!

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Cálculo 1 variable / Propiedades polinomio de Taylor
« en: 25 Febrero, 2021, 07:03 pm »
Hola!!

Sean $$f$$ y $$g$$ dos funciones $$n$$ veces derivables en un entorno de un punto $$a$$ y sean $$P_n$$, a y $$Q_n$$,  sus respectivos polinomios de Taylor de orden $$n$$ en este punto.

Demostrad que:

El producto $$ f · g$$ admite un polinomio de Taylor de orden $$n$$ en $$a$$, el cual se obtiene de eliminar del producto
$$P_n·Q_n$$ los términos de grado > $$n$$.

Muchas gracias!

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Álgebra y Aritmética Básicas / Números primos
« en: 29 Enero, 2021, 07:15 pm »
Si $$p$$ es un número primo y $$n\geq{1}$$ un entero cualquiera. Probad que

$$p^n\neq \frac{p^n-1}{p-1}$$

Muchas gracias!

18
Álgebra y Aritmética Básicas / Máximo común divisor
« en: 28 Enero, 2021, 11:45 pm »
Sean $$x, y, z$$ enteros diferentes de cero tales que $$mcd(x, y)=1$$.

Provad que $$mcd(x, y\cdot z)=mcd(x,z)$$

Muchas gracias!

19
Álgebra y Aritmética Básicas / Sistema de ecuaciones
« en: 26 Enero, 2021, 08:22 pm »
$$\begin{pmatrix}
1-p & 1 & \cdots & 1\\
 1& 1-p &  \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \ddots  & \vdots  \\
1 &  1 &  \cdots & 1-p
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots \\
x_p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 0 \\
 0 \\
 \vdots \\
0
\end{pmatrix}$$

Alguien me ayuda a resolver este sistema? La matrriz es de orden p.

Muchas gracias!

20
Álgebra y Aritmética Básicas / Polinomios
« en: 23 Enero, 2021, 06:48 pm »
Como encontrar los polinomios de grado $$n$$ tales que $$p(x+1)=p(x)$$

Gracias!

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