Buenas noches feriva
Huy, no, qué va, al contrario sí, la fuerte implica la débil, es inmediato de demostrar, pero no al revés; también la hipótesis de Riemann implica la débil, pero no al revés, si fuera al revés la demostración de Helfgott hubiera supuesto también la Hipótesis de Riemann.
Repasando mis apuntes de Teoría de Números, observo lo siguiente:
- Conjetura "fuerte" de Goldbach (la original): un número natural PAR se puede descomponer como la suma de dos números primos o 1.
- Conjetura "débil" de Goldbach (modificación): un número natural MAYOR QUE 7 se puede descomponer como la suma de tres números primos.
Se puede pasar de la segunda a la primera (reducir el número de sumandos de 3 a 2) viendo que cualquier número impar mayor que 7, al restarle 3, es un número par mayor que 4. Por tanto, si el número menos 3 puede ser expresado como la suma de dos primos impares, entonces el número puede ser expresado como la suma de tres primos. Haciendo este cambio, las conjeturas "fuerte" y "débil" son equivalentes.
Según he leído en internet, la demostración de Helfgott retoma la "hipótesis generalizada de Riemann" con la que se intentó demostrar la conjetura en 1922. Posteriormente un tal Vinogradov, en 1937, eliminó esa dependencia reduciendo la prueba a números "efectivamente computables".
En cuanto a la demostración de Helfgott, en este vídeo explica cómo la demostró (resumidamente, sin entrar en todos los detalles, como lógico, porque eso supondría una conferencia muy larga)
En cuanto a lo de Tao sí fue quién la revisó; y la dio por buena; de esto hace ya dos años o más, no recuerdo.
Gracias por el enlace: desconocía que ya se había dado un "veredicto" de la evaluación del trabajo de Helfgott: no encontré información al respecto. He leído declaraciones de Helfgott diciendo que ha demostrado la conjetura débil y que la humanidad tardaría 300 años más en demostrar la fuerte... s.c.
Buenas noches
robinlambada
En lo que me toca, es mi función y a mi me apetece definirla sólo sobre los primos y no sobre los impares...
entiendo que usted se refiere a esta función \( F(n_1,n_2,n_3) \)
Fue una contestación un tanto infantil por mi parte ante un ataque.
No he definido una función que genere sólo primos (si en algún momento he escrito eso o dado a entender eso, lo retiro
ipso facto): he definido una función no inyectiva que genera todo \( {N} \). Hasta donde yo sé, no existe dicha función generadora de primos en el sentido de que no hay \( f(n) = p_n \), pero si algoritmos más o menos eficientes para calcularlos y criterios para determinar si un número dado es primo o no. Ya digo que a partir del primo 50 millones ando un poco perdido, aunque todo es ponerse.
He revisado lo que he escrito y he visto que hay algún error en los valores de \( n_1 \) y \( n_2 \), por lo que si me lo permite, redefino las funciones F y la generación de \( {N} \) a lo siguiente:
\( f_1(n_1, n_2, n_3) = 2 n_1 + 2 n_2 + 0 n_3 + 1 \)
\( f_2(n_1, n_2, n_3) = 2 n_1 + 2 n_2 + 0 n_3 + 2 \)
\( f_3(n_1, n_2, n_3) = 2 n_1 + 2 n_2 + 0 n_3 + 3 \)
\( F \) en tres partes como
\( f_1 \) si \( n_3\equiv{}0 mod(3) \)
\( f_2 \) si \( n_3 \equiv{} 1 mod(3) \)
\( f_3 \) si \( n_3 \equiv{} 2 mod(3) \)
\( (n_1, n_2, n_3) \)
\( (0, 0, 0)\rightarrow{1} \)
\( (0, 0, 1)\rightarrow{2} \)
\( (0, 0, 2)\rightarrow{3} \)
\( (0, 1, 3)\rightarrow{3} \)
\( (0, 1, 4)\rightarrow{4} \)
\( (0, 1, 5)\rightarrow{5} \)
\( (0, 1, 6)\rightarrow{5} \)
\( (0, 1, 7)\rightarrow{6} \)
\( (1, 1, 8)\rightarrow{7} \)
\( (1, 1, 9)\rightarrow{7} \)
\( (1, 1, 10)\rightarrow{8} \)
\( (1, 2, 11)\rightarrow{9} \)
\( (1, 2, 12)\rightarrow{9} \)
\( (1, 2, 13)\rightarrow{10} \)
\( (2, 2, 14)\rightarrow{11} \)
\( (2, 2, 15)\rightarrow{11} \)
\( (2, 2, 16)\rightarrow{12} \)
...etc.
Los valores detrás de las flechas son el resultado de evaluar la función definida en 3 partes tomando módulo 3 a \( n_3 \) (no sé si me explico).
Se ve claramente que de esta forma se puede generar todo \( {N} \) aunque demos valores repetidos (dije que daba una función no inyectiva).
Que la función no sea inyectiva indica que la descomposición en dos sumandos primos no es única (al contrario que la descomposición en factores primos, que es única salvo el orden de los términos).
Al componerla con la función \( g \) que es el producto de cualquier número por 2, tengo los números pares.
Con esto tenemos que todas las formas posibles de sumar números primos impares (de la forma 4k+1 o 4k+3) se puede expresar como una función de 3 variables en \( {N} \) cuyo dominio contiene únicamente a todos los números pares.
Como he excluido previamente en los "Casos Base" los primos pares y el 1, tenemos el resultado que queríamos demostrar. Como ya dije, \( q.e.d \)
Saludos y gracias por comentar.
