[jaich]

Sean E,F espacios normados y \( T:E\longrightarrow{F} \) un operador lineal y continuo. Pruebe que si T tiene inversa \( T^{-1}:F\longrightarrow{E} \) continua, entonces T' tiene inversa \( T'^{-1}:E'\longrightarrow{F'} \) continua.
Donde \( T':F'\longrightarrow{E'} \) está definido como \( T'(\phi)(x)=\phi(T(x)) \), \( \forall{\phi\in{F'}},\forall{x\in{E}} \) y E', F' son los duales de E y F respectivamente

Solo me gustaría que me ayuden por favor con la demostración de que si T tiene inversa continua entonces efectivamente T' tiene inversa.
Lo que estuve intentando es demostrar que T' es inyectiva, lo que es el \( Ker(T')=\left\{{\phi\in{F'} : T'(\phi)=0}\right\}=0 \) (el funcional nulo)
y esto sucederá si y solo si \( T'(\phi)(x)=0 \), \( \forall{x\in{E}} \) si y solo si \( \phi(T(x))=0 \), \( \forall{x\in{E}} \) y de ahí no sé cómo concluir que \( \phi\in{F'} \) es el funcional nulo, es decir \( \phi(x)=0 \), \( \forall{x}\in{F} \) teniendo que el Ker(T)=0
Gracias

[geómetracat]

Si \( T \) tiene inversa quiere decir que es biyectiva. En particular, para todo \( y \in F \) existe \( x \in E \) tal que \( y = F(x) \). Luego, para todo \( y \in F \), \( \phi(y) = \phi(F(x)) = 0 \), que es lo que querías.

Por otro lado, para ver que \( T' \) es biyectiva también deberías ver que es exhaustiva. Para ello hay que usar que \( T \) tiene inversa y que es contínua.