[Kaspar Hauser]

[Kaspar Hauser]

Según deduzco, "ser un número natural" es expresable en el sistema complejo por la siguiente fórmula recursiva:

\( Nat(z) \Longleftrightarrow{} [ ( z = 1 )\vee (\exists{u} : Nat(u) \wedge z = u + 1 ) ]  \)

Informalmente, todas las cadenas de la forma

1+1+ ... +1

Ser un número real:

\( Real(z) \Longleftrightarrow{} [ Im(z) = 0 \wedge \sim{Nat(z)} ]  \)

¿Creen que es correcto?

Saludos

[argentinator]

Estás definiendo "Nat" refiriéndote de nuevo a "Nat".

Es circular, aunque eso no quiere decir que necesariamente sea una mala definición.
Pero sobretodo, es ambiguo, porque "Nat" no se comporta de un modo unívoco.

Si yo decido que "Nat(z)" = "z = z", entonces todo complejo z satisface la propiedad que pusiste, con u = z - 1.

El símbolo "Nat" no queda bien determinado, y no caracteriza los naturales.

[Carlos Ivorra]

Hago aquí un comentario sobre un asunto que argentinator está tratando en este otro hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=24564.msg263877#msg263877

Como voy a hacer referencia a lo dicho en este hilo, creo que será más fácil de seguir aquí.

Ante todo, los axiomas que ha puesto Kaspar Hauser (por cierto, creo que el 9 es redundante) no caracterizan a los números complejos, pues son satisfechos por todo cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 (por ejemplo, la clausura algebraica de \( \mathbb{Q} \), que es numerable). Sin embargo, el único modelo de dichos axiomas con cardinal \( 2^{\aleph_0} \) es \( \mathbb C \).

Esto nos da una respuesta a lo que se trata en el hilo que indico. Si pasamos a considerar los axiomas como fórmulas en ZF, entonces tenemos simplemente los axiomas de cuerpo, más el axioma 11, que puede reducirse a una única afirmación \( \forall n\in \mathbb N^*\ \forall x\ n1\neq 0 \) (o, más brevemente aún, \( K \) tiene característica 0) y el axioma 12, que puede reescribirse diciendo que todo polinomio no constante con coeficientes en K tiene una raíz en K, es decir, que K es algebraicamente cerrado.

En resumen: Todo conjunto con una suma y un producto que cumpla los axiomas de cuerpo, que tenga característica 0, que sea algebraicamente cerrado y que tenga cardinal \( 2^{\aleph_0} \) es isomorfo al cuerpo \( \mathbb C \) de los números complejos. Esto, como digo, es una posible respuesta (no la única, por supuesto) a la pregunta planteada en el hilo que he citado.

La prueba consiste en demostrar que todo cuerpo K de característica 0 puede descomponerse como \( \mathbb Q\subset T\subset K \), donde \( T \) es una extensión puramente trascendente de \( \mathbb Q \), es decir, isomorfa a un cuerpo de fracciones algebraicas (de cocientes de polinomios) sobre un conjunto X de indeterminadas (finito o infinito) y de modo que K es algebraico sobre T.

Si K es algebraicamente cerrado, K tiene que ser la clausura algebraica de T, que está unívocamente determinada por T, y el cardinal de X se llama grado de trascendencia de K, y está también determinado por K, y si K tiene cardinal no numerable es fácil ver que \( |X|=|K| \), luego si dos cuerpos algebraicamente cerrados tienen el mismo cardinal no numerable \( \kappa \), entonces ambos son isomorfos a la clausura algebraica del cuerpo de fracciones algebraicas de \( \kappa \) indeterminadas, luego ambos son isomorfos entre sí.

[argentinator]

Bueno, pero creo que Kaspar sólo intenta ver si es posible o no definir "Nat(z)" en los complejos, con los axiomas que pegó en la imagen (que están copiados del libro Godel para todos).

El "Nat" que define Kaspar no "define" los naturales, con independencia de que esos axiomas caractericen o no a los complejos.

De hecho, esos axiomas lucen algo pobres. No se ve de ahí cómo tratar cuestiones complicadas de los complejos.
Por ejemplo, no se dice nada de convergencia de series... por decir algo.

Los axiomas tal como están, parecen cumplirse todos por el subcuerpo \( \mathbb{A} \) de los números algebraicos de \( \mathbb{C} \).
Y eso probaría ya que los axiomas de la lista no caracterizan a los complejos.

[Carlos Ivorra]

Bueno, pero creo que Kaspar sólo intenta ver si es posible o no definir "Nat(z)" en los complejos, con los axiomas que pegó en la imagen (que están copiados del libro Godel para todos).

Ya, ya. Si no era mi intención contradecir en nada a Kaspar. Tan sólo pretendía aportar algo a lo que tratabas en tu otro hilo (y que no tiene nada que ver con lo que se propone Kaspar), sólo que me pareció más cómodo contarlo aquí para relacionarlo con los axiomas de los cuerpos algebraicamente cerrados. Igual hubiera sido más oportuno que pusiera mi mensaje allí.

¿No se trataba (en el otro hilo) de buscar axiomas sencillos que fueran categóricos para \( \mathbb{C} \)? Pues sólo quería dar un ejemplo de tales axiomas.

[argentinator]

Hago aquí un comentario sobre un asunto que argentinator está tratando en este otro hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=24564.msg263877#msg263877

Como voy a hacer referencia a lo dicho en este hilo, creo que será más fácil de seguir aquí.

En resumen: Todo conjunto con una suma y un producto que cumpla los axiomas de cuerpo, que tenga característica 0, que sea algebraicamente cerrado y que tenga cardinal \( 2^{\aleph_0} \) es isomorfo al cuerpo \( \mathbb C \) de los números complejos. Esto, como digo, es una posible respuesta (no la única, por supuesto) a la pregunta planteada en el hilo que he citado.

Recordaba que el hecho de ser algebraicamente cerrado era importante.
Pero me quedó la duda de si los otros axiomas que puse en "ese" hilo acaso serían suficientes, y ser algebraicamente cerrado sería ya un Teorema deducible de todo lo demás que supuse.
Creo que con probar la unicidad allí, y comprobando luego que la construcción básica de C como pares ordenados de reales cumple los requisitos allí exigidos, ya se podrían usar todos los teoremas conocidos de variable compleja, y en particular que C es algebraicamente cerrado.

Estimo que las cuentas son fáciles, pero no las he hecho.

Los axiomas que he planteado ahí asumen alguna teoría de conjuntos.
Así que antes que axiomas, son más bien una definición de "sistema de números complejos", bajo ZF ó ZFC.

Los axiomas de Kaspar están "pelados", sin teorías de conjuntos de soporte.
Están planteados, me parece, desde la teoría de modelos.

[argentinator]

Bueno, pero creo que Kaspar sólo intenta ver si es posible o no definir "Nat(z)" en los complejos, con los axiomas que pegó en la imagen (que están copiados del libro Godel para todos).

Ya, ya. Si no era mi intención contradecir en nada a Kaspar. Tan sólo pretendía aportar algo a lo que tratabas en tu otro hilo (y que no tiene nada que ver con lo que se propone Kaspar), sólo que me pareció más cómodo contarlo aquí para relacionarlo con los axiomas de los cuerpos algebraicamente cerrados. Igual hubiera sido más oportuno que pusiera mi mensaje allí.

¿No se trataba (en el otro hilo) de buscar axiomas sencillos que fueran categóricos para \( \mathbb{C} \)? Pues sólo quería dar un ejemplo de tales axiomas.

Sí, me parece que era mejor poner tu comentario ahí.

Está muy bueno lo que contás. Y sí, se ve muy sencilla la caracterización dada.

Yo no conozco esa categorización que explicaste.
Muchas veces hago agua con el álgebra.

Me lo tendré que estudiar, es un resultado muy interesante.

[Carlos Ivorra]

Sí, me parece que era mejor poner tu comentario ahí.

No sé si con "ahí" te refieres a "ahí donde está" (o sea, aquí)  o "allí en el otro hilo". Si te parece que es mejor que esté allí mueve los mensajes, o me lo confirmas y los muevo yo mismo.

Está muy bueno lo que contás. Y sí, se ve muy sencilla la caracterización dada.

Cumple lo que se pretendía, pero no sé yo si es muy práctica. Si partes axiomáticamente de un cuerpo K en esas condiciones, puedes definir \( \mathbb N \) como la intersección de todos los subconjuntos inductivos de K, puedes definir \( \mathbb{Z} \) como el conjunto de los números naturales y sus opuestos, y puedes definir \( \mathbb Q \) como el conjunto de fracciones de enteros, pero no se puede definir unívocamente a \( \mathbb{R} \), sino que \( K \) contiene infinitas copias de cuerpos distintos dos a dos, todos isomorfos a \( \mathbb R \). Y no sé muy bien qué convendría hacer si uno quiere obtener los números reales "desde arriba" en lugar de "desde abajo".

Yo no conozco esa categorización que explicaste.
Muchas veces hago agua con el álgebra.

Me lo tendré que estudiar, es un resultado muy interesante.

No sé dónde habrá una prueba de este resultado exacto. Básicamente requiere definir el concepto de grado de trascendencia de un cuerpo. (Yo me estudié eso en Hungerford, en su día) y demostrar que toda extensión se puede descomponer en una puramente trascendente seguida de una algebraica (todo eso está en Hungerford, creo recordar). El resto ya es jugar un poco con cardinales.

[Carlos Ivorra]

Recordaba que el hecho de ser algebraicamente cerrado era importante....

Te he respondido al siguiente mensaje sin haber visto éste, que lo acabo de ver, pero ahora tengo que irme. Luego vuelvo sobre lo que dices aquí.