Bueno, esto tendría que pensarlo.
Para seguir con el enfoque que estuve desarrollando, tendría que dar un sistema de axiomas para los números complejos.
Como haber un tal sistema, lo hay, no es nada complicado.
Pero el problema es que los sistemas axiomáticos que estuvimos desarrollando son "categóricos",
con lo cual quiero decir que satisfacen una propiedad de unicidad: todos los sistemas que satisfacen la lista de axiomas son isomorfos entre sí.
Así que la pregunta exacta sería: ¿existe un sistema axiomático de los complejos tal que todos los sistemas que cumplen esos axiomas son isomorfos entre sí?
O sea, estamos preguntando cuáles son los axiomas que caracterizan unívocamente a los complejos.
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Dado que eso no suele estar en los libros hay que pensarlo.
Hasta ahora no lo he pensado, confiando en que si me pongo a escribirlo me va a salir.
No obstante, es posible que haya algunos obstáculos para lograrlo.
Puedo acá ensayar algo:
Una lista \( (C, +, \cdot, 0, 1, i, R, <) \) es un sistema de números complejos si:
* \( C \) es un conjunto no vacío,
* \( (C, +, \cdot, 0 , 1) \) es un cuerpo con neutro 0 para la +, y neutro 1 para \( \cdot \).
* \( R \) es un subconjunto de \( C \) tal que 0 y 1 son elementos de \( R \), y tales que \( (R, +, \cdot, 0, 1, <) \) es un cuerpo ordenado completo (o sea, un sistema de números reales). [Aquí \( +,\cdot \) son las operaciones de \( C \) restringidas a \( R \)].
Nota: La relación < solamente está definida en \( R \), no está definida en el resto de elementos de \( C \). Esta aclaración algo incómoda se puede subsanar dando los axiomas de \( R \) de un modo algo distinto.
* El elemento \( i \) no pertenece a R, y cumple la relación \( i^2= -1 \).
* \( (C, 0, +, \cdot|_{R\times C}) \) es un espacio vectorial definido sobre el cuerpo \( (R, 0, 1, +, \cdot) \), donde 0 es el "vector" 0, y \( \cdot|_{R\times C} \) es el "producto de escalares por vectores", que se toma como el producto de \( C \) restringido a \( R\times C \).
(Recordemos que todo espacio vectorial ha de definirse en relación a un cuerpo de escalares. Aquí especificamos explícitamente que el cuerpo de escalares es el mismo R que antes teníamos como subcuerpo ordenado completo de C).
Hay que prestar atención porque aquí las mismas operaciones de suma y producto de C sirven tanto para las operaciones de suma y producto del subcuerpo R, el cual a su vez es "cuerpo de escalares para C como espacio vectorial", y además el producto de C, debidamente restringido, funciona como "producto por escalar" de C como R-espacio vectorial.
* La dimensión de \( C \) como \( R \)-espacio vectorial es 2: \( dim_R(C) = 2 \). Además, los "vectores" \( 1 \) e \( i \) son linealmente independientes, y constituyen una base del espacio vectorial \( C \).
Creería que esos axiomas son suficientes para garantizar la unicidad (salvo isomorfismos) del sistema de los números complejos (siempre bajo una teoría formal y estándar de conjuntos).
Para verlo, hay que suponer que tenemos dos sistemas de complejos distintos:
\( (C, +, \cdot, 0, 1, i, R, <) \) y \( (C', +', \cdot', 0', 1', i', R', <') \)
y demostrar que:
* Existe una biyección \( h \) entre \( C \) y \( C' \) tal que:
* \( h(0) = 0', h(1) = 1', h(i) = i', h(R) = R' \),
* \( h(w+z) = h(w) + h(z), h(w\cdot z) = h(w)\cdot h(z). \)
* \( w,z\in R, w< z \) implica \( h(w), h(z) \in R' \) y \( h(w) < h(z). \)
* Y análogas propiedades para la función inversa \( h^{-1} \).
No he hecho las comprobaciones, para ver si falta algo en el camino.
Si esos axiomas no caracterizan la unicidad de los sistemas de números complejos,
entonces habrá que agregar algún axioma más,
y para esto hay que elegir alguna propiedad característica de los números complejos,
como por ejemplo que C es un espacio vectorial con producto interno (no creo que esto agregue más información que la que ya hay desde los axiomas),
o que el subconjunto \( S = \{cos\theta + i\sen\theta: 0\leq\theta <2\pi\} \) con el producto de \( C \) restringido a \( S \), forma un grupo conmutativo, isomorfo al grupo de matrices ortonormales reales de 2x2, con determinante 1.
Pero esto también seguramente es consecuencia de los axiomas.
O quizá el teorema de que todo polinomio de coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Otro día me pondré a hacer bien los cálculos, y los agregaré a la teoría de los sistemas numéricos.
Un saludo.
