[argentinator]

Principal * N Z Q R C +


Lo que estás haciendo de sumar de izquierda a derecha va en contra del algoritmo usual de suma.

Uno no suma así, porque al hacerlo tiene que "corregir" volviendo hacia la izquierda en caso de obtener un dígito de acarreo.

Si bien esto podría hacerse cuando la cantidad de dígitos es finita, ¿cómo resolver la cuestión cuando la cantidad de dígitos es infinita?

Además, las sumas que producen acarreo no son siempre "puros nueves".

A ver si se entiendo lo que digo.

Puedo tener los números 0.52678989... y 0.9754334...

Fijate que al sumar el segundo dígito, se tiene 2 y 7, que dan 9, y entonces no producen dígito de "acarreo", luego no hay que retroceder al primer dígito para "corregir" nada, pues no hay acarreo.

Pero resulta que en realidad los dígitos de más a la derecha siempre vienen trayendo "acarreo", y eso haría que en el segundo dígito haya que sumar un "1" de acarreo al 2 y al 7, dando un total de 10, que ahora me obliga a retroceder aún más hacia el primer dígito, para ponerle este "1" de acarreo, que en la primer "pasada" no habíamos detectado.

La situación puede ser más complicada, en el sentido de que puede haber un millón de dígitos, por ejemplo, antes de detectar que hay un "acarreo" a tener en cuenta.

Por ejemplo: 0.127272727... y 0.872727298...

Hasta que no se llega al 9 del segundo número, no se detecta el acarreo producido, que obliga a retroceder varios pasos hasta el primer dígito de todos!!!

Es por esto que en la escuela no nos dejan sumar así, de izquierda a derecha, y hay que empezar desde la derecha hacia la izquierda.

El problema es que, como tenemos infinitos dígitos hacia la derecha, no hay modo posible de empezar desde la derecha, porque no hay una posición de "inicio".


Hay al menos dos soluciones que se me ocurren.
Una, definir un algoritmo más cuidadoso (que incluso alguna vez estoy seguro que discutimos acá en el foro, pero el público se me aburrió).

La otra opción sería por aproximación por racionales, pero como la construcción está en pañales, creo que esto no va a funcionar: no se han analizado las propiedades de estas sucesiones de dígitos, así que hablar de "convergencia" puede llevar a un callejón sin salida.
O bien, obliga a dar un rodeo técnico más elaborado.

Ese rodeo tiene que ser el necesario para justificar esto: definir sumas con finitos dígitos, que uno sabe hacer sin dolor, y luego hacer tender el número de dígitos a infinito, de alguna forma, y demostrar que el desarrollo obtenido es "único" en algún sentido.
Esto definiría formalmente la suma, aunque es más técnico...

[argentinator]

El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:

Hola, Jabato. Ayer estaba yo un poco cegato, no me di cuenta de lo buena que es tu idea. Puedes llegar a definir un espacio vectorial erre dos restringido y usar el producto escalar; de hecho ya tienes todo el conjunto usando este producto escalar (e,m)(1,1); sólo hay que ir justificándolo (que no digo que sea fácil). Claro que está la dificulta de que en uno de los ejes tengamos sólo enteros, pero yo creo que lo podrás solucionar.

Saludos.

No hay espacios vectoriales en ninguna parte.
Sólo hay pares ordenados, cuya primer componente es un número entero, y segunda componente es una sucesión de dígitos entre 0 y 9.

[feriva]

 Un comentario de opinión sobre la naturaleza de los números.

 Solemos pensar que a la hora de definir operaciones la suma debe de ser la primera; después de haber definido el elemento neutro y todo eso. Yo, en cambio, veo que la suma es un proceso muy brusco siempre poco justificado cuando se estudian las estructuras algebraicas; explico por qué.

 La abstracción parte antes de la observación, y algunas de esas observaciones las viene haciendo el ser humano desde los más remotos tiempo; por ejemplo el concepto de unidad es quizá el más primario, es el YO, cada uno de nosotros como individuos que sabemos distinguirnos del resto de las cosas.
 ¿De dónde se ha abstraído el concepto unidad matemática? Podría contar una anécdota de cuando, un día, hace ya muchos años, intenté enseñar a contar a mi hijo mayor cuando tenia unos tres años: no aprendía fácilmente, cuando yo decía UNO y DOS  y estiraba mis dedos creía que los dedos índice y corazón se llamaban "UNO" y "DOS", no captaba la idea. Hasta que tomé un lápiz viejo sin punta y lo partí; y entonces, antes de decirle yo dos y sólo habiéndole dicho "uno", respecto de un trozo, él se adelantó y dijo "dos" señalando el otro.
 Evidentemente, los niños muy pequeños no están contaminados por supersticiones milenarias; si sólo tenemos una unidad de algo material y queremos sumar dos, no podemos hacer otra cosa que partirla, ahí no podemos hacer magia y sacarnos otra unidad de la manga.
 Luego los números (así, números sin apellidos) sólo se pueden construir sin trucos mágicos partiendo una unidad para después ir sumando valores; una vez que tengo dos trozos, si parto uno de los trozos tengo tres trozos, y así voy obteniendo -con trozos a veces desiguales y más pequeños cada vez- los llamados números naturales. Da igual la comparación de tamaño, ya que en principio comparamos sumas de trozos sin importarnos eso. Es decir, al principio del todo no hay números distintos, sino unidades que se van partiendo y se convierten tan sólo, en eso, en unidades. Ya vendrá después la comparación entre ellas, que no es exactamente el uso de la división aunque esté relacionado "operativamente".

 La idea de Jabato es muy interesante porque separa ambas cosas, antes que la comparación entre cosas está la partición de una cosa.

 Entendemos que la suma es más básica porque es la más fácil, es lo que siempre los hombres enseñaron a sus hijos primero, pero ése no es argumento para asignarle tal honor, nació de una necesidad, es menos básica, está menos al principio, que la división.
 
 No me alargo más, que me enrollo mucho y no puede ser.

Saludos

[argentinator]

Principal * N Z Q R C +


Es que los pares de Jabato "ya" son los números.

No hay nada que pasar.

[feriva]

Es que los pares de Jabato "ya" son los números.

No hay nada que pasar.

Bueno, pues no digamos producto escalar, digamos que debe justificar una operación análoga al producto escalar y conocemos el producto escalar para ver qué ideas nos puede dar. De todas formas fíjate en el "elemento" de transformación (1,1) ¿no es sugerente?

[argentinator]

mmmmmmm...

Odio la intuición. Es pseudociencia.

[feriva]

mmmmmmm...

Odio la intuición. Es pseudociencia.

 

No es del todo intuición, es también observación: todos esos pares se transforman mediante el par que hace corresponder la unidad natural para dicho producto. La observación es el primer paso del método científico, después... la hipótesis, etc.

[Jabato]

argentinator, sabrías decirme cuanto vale la suma \( e+\pi \). Cualquiera que sea el resultado que me des tendrás que haberlo calculado con un número finito de cifras decimales, y además ese valor lo habrás obtenido necesariamente con valores obtenidos para ambos números con un número finito de cifras decimales. ¿Entonces porqué me exiges a mi que sume con infinitas cifras decimales? Ya sabes que no puedo. No ocurre exactamente lo mismo al sumar los infinitos términos de una sucesión y nadie se ha escandalizado hasta la fecha.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

No te estoy pidiendo que lo hagas, sólo te digo que es posible.

Pero también te dije que hay una segunda forma, que es como vos lo estás diciendo.

Pero no se trata de una cuestión de ver si la gente se escandaliza o no,
sino de si es correcto o no el procedimiento.

En realidad, lo importante es dar una definición precisa que asigne a cada par de objetos (e, m) algo que llamarías "la suma", y que esté claramente definida, que sea unívoca, y que luego permita demostrar las propiedades algebraicas y ordinales de la suma, que figuran en los axiomas.

Si lo hacés con sumas de finitos dígitos, que es factible, hay que justificar el procedimiento correctamente cuando se pasa a considerar todas las infinitas cifras.

No hace falta un algoritmo como el primero que intentaste hacer, aunque es posible.
Se puede hacer con aproximaciones finitas, claro está.
Pero como sea, algo hay que hacer.

Habría, pues, que hacer algo en etapas: definir la suma en el caso de un desarrollo finito,
luego considerar para cada n, el desarrollo truncado a n dígitos de ambos números y efectuar la suma,
finalmente definir cuál van a ser los infinitos dígitos de la suma, basado en lo anterior, y demostrar que está bien definido, y que no es ambiguo.

En cuanto \( e+\pi \), para mí no es problema sumarlos, el problema es que no conozco los dígitos de \( e \) y de \( \pi \).

Pero, suponiendo que los conociera, se puede hacer.
De hecho, esto es todo lo que hace falta para construir la teoría de los números reales en base a los dígitos.

No hace falta conocer el desarrollo decimal completo de números concretos como \( e \) ó \( \pi \).
Y menos aún hace falta en la etapa "constructiva", en la cual los números irracionales ni siquiera existen, porque aún no los hemos construido.

_______________

La suma y el producto de los objetos (e, m) que has  declarado, hay que definirlos, porque si no, nunca vas a poder concluir que tu construcción es un cuerpo que satisface los axiomas de los números reales.

Te quejás como si esto fuera culpa mía o capricho mío.
La construcción tiene todos esos pasos.

Todas las construcciones de este tipo son largas.
Cualquier construcción de los números reales da trabajo, porque es necesariamente mucho más complicada que la construcción de Z o de Q.

No es sólo construir lo que a uno le gusta, sino también comprobar una serie de cosas.
La matemática es así.

[Jabato]

Pues realmente la cosa se ve que no es fácil, y cuando lleguemos al producto las dificultades se van a multiplicar, ya se ve. El orden creo que es más sencillo de definir. En fin, ahora te admitiría que intentaras hacer algo con la suma, a ver que se te ocurre. Tu mismo me dijiste que deseabas hacerlo por lo interesante que parecía el modelo, pues bien, a ver como te las apañarías tu en este caso. Le he dado bastantes vueltas y no veo como salvar el problemilla. De momento solo con la suma.

Saludos, Jabato.