Autor Tema: Dos circunferencias secantes, cuánto mide la cuerda común??

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23 Noviembre, 2017, 03:08 am
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Ranhia

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Buenas noches:

Dos circunferencias secantes \( O \) y \( O' \) tienen radios \( r=30cm \) y \( r'=25cm \). Sabiendo que sus centros están a una distancia de \( 40cm \), calcular la longitud de la cuerda común.



Por favor!!  ???

23 Noviembre, 2017, 05:20 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

En el dibujo la circunferencia O’ es mas grande que la O, las cosas son al revés;  pero es irrelevante para la solución del problema.

La línea de centros OO’ es perpendicular a la cuerda CD y la biseca, se puede demostrar. Sea \( M=OO'\cap{CD}  \), es el punto medio de CD. Calculando MC se obtiene \( CD=2 \ MC \)

Los triángulos OMC y O’MC, son rectángulos, aplicando Pitágoras a ambos, respectivamente se tiene :

\( OM^2+MC^2=30^2 \) Ec. 1

\( O'M^2+MC^2=25^2 \) Ec. 2

Restando la Ec 2 de la 1 se tiene .

\( OM^2-O'M^2=30^2-25^2\Rightarrow{(OM-O'M)(OM+O'M)=275} \) Ec. 3

Pero por dato del problema : \( OM+O'M=OO'=40 \) Ec. 4

Utilizando la Ec. 4 en la 3 se tiene : \( (OM-O'M)40=275\Rightarrow{OM-O'M=6.875\Rightarrow{OM=O'M+6.875}} \) Ec. 5

Utilizando Ec 5 en la 4 :

\( O'M+6.875+O'M=40 \) Ec. 6

De la Ec. 6 se obtiene O'M, y utilizando este valor en la Ec. 2 se obtiene MC, la cuerda \( CD=2 \ MC \)



Saludos

23 Noviembre, 2017, 02:08 pm
Respuesta #2

Abdulai

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El problema equivale a hallar la altura del triángulo OCO' respecto de OO' en función de la longitud de los lados.

Llamemos  \( h=\frac{1}{2}  \overline{CD} \)  y  \( d=\overline{OO'} \)

El área del triángulo es  \( A=\frac{1}{2} \;h  d \) , pero mediante la fórmula de Herón también la obtenemos en función de los lados.
Spoiler
Fórmula de Herón:   \( A=\displaystyle\sqrt{p(p-r_1)(p-r_2)(p-d)} \)   con  \( p=\frac{1}{2}(r_1+r_2+h) \)

o  \( A=\frac{1}{4}\displaystyle\sqrt{(h^2-\delta^2)(\sigma^2-h^2)} \)   con  \( \sigma=r_1+r_2 \)  y  \( \delta=r_1-r_2 \)
[cerrar]

Luego  \( h = \dfrac{2A}{d} \)