Autor Tema: 2 circunferencias tangentes y un ángulo de 90°

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23 Noviembre, 2017, 12:38 am
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Ranhia

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Buenas tardes:

Tengo el siguiente enunciado:

Dos circunferencias \( (O,R) \) y \( (O', R') \) son tangentes en \( A \). Sea \( M \) un punto de la primera circunferencia y \( M' \) un punto de la segunda circunferencia tal que \( \angle{MAM'} \) es recto. Probar que los radios \( OM \) y \( O'M' \) son paralelos.



El dibujo no se si este correcto porque me qquedaron ambas iguales y también puede ser que una sea de mayor tamaño que la otra.

En todo caso, se puede deducir que:

- \( \triangle{AOM} \) y \( \triangle{AO'M'} \) son isósceles

y hasta ahí quedo  ??? ??? ???

23 Noviembre, 2017, 02:45 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

A ver

Los ángulos OAM y O'AM' son complementarios. Los triángulos OAM y O'AM' son isósceles.

Así  el ángulo   \(  AOM=180^{\circ}-2\cdot OAM \)

Y el ángulo
\(  AO'M'=180^{\circ}-2\cdot O'AM' \)

Si sumamos  \( AOM+AO'M'=360-2(\cancelto{90^{\circ}}{OAM+O'AM)}=180^{\circ} \)

Como estos ángulos son suplementarios, los radios en cuestión son paralelos.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

23 Noviembre, 2017, 10:33 am
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Hola

A ver

Los ángulos OAM y O'AM' son complementarios. Los triángulos OAM y O'AM' son isósceles.

Así  el ángulo   \(  AOM=180^{\circ}-2\cdot OAM \)

Y el ángulo
\(  AO'M'=180^{\circ}-2\cdot O'AM' \)

Si sumamos  \( AOM+AO'M'=360-2(\cancelto{90^{\circ}}{OAM+O'AM)}=180^{\circ} \)

Como estos ángulos son suplementarios, los radios en cuestión son paralelos.

Como complemento (¿o suplemento?  :) ), ahi va un ggb:



Pueden desplazarse los puntos \( O, O'\textrm{ y }A \).

El paralelismo subsiste aunque las circunferencias sean tangentes interiores.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Noviembre, 2017, 07:01 pm
Respuesta #3

Ranhia

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Muchas gracias por la ayuda ingmarov, Ignacio Larrosa ggb esta genial para visualizar mejor.

Gracias!!!