Autor Tema: Circunferencia inscrita

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

27 Octubre, 2017, 05:11 pm
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Michel

  • Lathi
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Se considera un cuadrilátero y su circunferencia inscrita.
Si la razón del perímetro del primero y la longitud de la segunda es k, hallar la razón de las áreas de ambas figuras.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

27 Octubre, 2017, 06:47 pm
Respuesta #1

hméndez

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Se considera un cuadrilátero y su circunferencia inscrita.
Si la razón del perímetro del primero y la longitud de la segunda es k, hallar la razón de las áreas de ambas figuras.

 ¡Vaya Sorpresa...!
 
Spoiler
Razón de perímetros = razón de áreas

No entraré en detalles...despues de esto lo que cabe esperar es ¡un buén applet...! :laugh:
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Saludos

27 Octubre, 2017, 07:00 pm
Respuesta #2

sugata

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Estaba esperando llegar a casa para resolverlo, pero viendo la sorpresa de hméndez, he tenido que leer el spoiler.
Que curioso.

27 Octubre, 2017, 08:18 pm
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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Se considera un cuadrilátero y su circunferencia inscrita.
Si la razón del perímetro del primero y la longitud de la segunda es k, hallar la razón de las áreas de ambas figuras.

¡Nunca lo hubiera dicho!

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

27 Octubre, 2017, 08:31 pm
Respuesta #4

Ignacio Larrosa

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Se considera un cuadrilátero y su circunferencia inscrita.
Si la razón del perímetro del primero y la longitud de la segunda es k, hallar la razón de las áreas de ambas figuras.

¡Nunca lo hubiera dicho!

Saludos,

Para mayor efecto, se recomienda tomar el radio de la circunferencia inscrita igual a 2.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

28 Octubre, 2017, 10:10 am
Respuesta #5

sugata

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Vamos a ponerlo algebraicamente.

Spoiler
El radio de la circunferencia es la mitad del lado del cuadrado,
luego  la razón k entre perímetro y longitud es:

\( k=\displaystyle\frac{4l}{2\pi \dfrac{l}{2}}=\dfrac{4}{\pi}
 \)

Y la relación entre las áreas sería:

\( \dfrac{l^2}{\pi \dfrac{l^2}{4}}= \dfrac{4}{\pi}    \)
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28 Octubre, 2017, 10:31 am
Respuesta #6

Ignacio Larrosa

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Vamos a ponerlo algebraicamente.

Spoiler
El radio de la circunferencia es la mitad del lado del cuadrado,
luego  la razón k entre perímetro y longitud es:

\( k=\displaystyle\frac{4l}{2\pi \dfrac{l}{2}}=\dfrac{4}{\pi}
 \)

Y la relación entre las áreas sería:

\( \dfrac{l^2}{\pi \dfrac{l^2}{4}}= \dfrac{4}{\pi}    \)
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Pero ojo, que es cierto para cualquier cuadrilátero circunscrito a la circunferencia.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

28 Octubre, 2017, 10:44 am
Respuesta #7

sugata

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Vamos a ponerlo algebraicamente.

Spoiler
El radio de la circunferencia es la mitad del lado del cuadrado,
luego  la razón k entre perímetro y longitud es:

\( k=\displaystyle\frac{4l}{2\pi \dfrac{l}{2}}=\dfrac{4}{\pi}
 \)




Y la relación entre las áreas sería:

\( \dfrac{l^2}{\pi \dfrac{l^2}{4}}= \dfrac{4}{\pi}    \)
[cerrar]

Pero ojo, que es cierto para cualquier cuadrilátero circunscrito a la circunferencia.

Saludos,

Tienes razón. Yo lo he hecho para un cuadrado. No leí bien.

28 Octubre, 2017, 01:35 pm
Respuesta #8

robinlambada

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Hola, la demostración no parece muy complicada.
Spoiler

El área del cuadrilátero se descompone en la suma de los cuatro triángulos de vértices formados por el centro de la circunferencia inscrita y los vértices A,B,C y D. de bases respectivas a,b,c y d, y alturas el radio r. de la circunferencia.

Por ello el área del cuadrilátero será: \( A_{cuadrilatero}=\displaystyle\frac{1}{2}(ar+br+cr+dr)=\displaystyle\frac{r\cdot{}p}{2} \)

por otro lado \( A_{circulo}=\pi\cdot{}r^2 \)

\( \displaystyle\frac{A_{cuadrilatero}}{A_{circulo}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{r\cdot{}p}{2}}{\pi\cdot{}r^2}=\displaystyle\frac{p}{2\pi\cdot{}r}=k \)
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Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

28 Octubre, 2017, 01:38 pm
Respuesta #9

sugata

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Preciosa demostración.