Autor Tema: *Mínimo de la suma

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21 Octubre, 2017, 09:51 am
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Michel

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La suma de los perímetros de dos cuadrados es 56.
Hallar el mínimo de la suma de sus áreas.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

21 Octubre, 2017, 03:27 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola Mich

Dejo en el spoiler una solución

Spoiler
Si L es la medida de lado del primer cuadrado la medida de lado del segundo es,

\( \dfrac{56-4L}{4}=14-L \)

La suma de áreas es

\( L^2+(14-L)^2=2L^2-28L+196 \).     Una parábola cuyo mínimo se encuentra en su vértice

\( L=\dfrac{-(-28)}{2(2)}=7 \)

Por lo que la suma de áreas es mínima cuando los cuadrado son congruentes, en este caso cuando sus lados miden 7


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Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

23 Octubre, 2017, 09:45 am
Respuesta #2

Michel

  • Lathi
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Hola ing.

Otra forma:

Sean a y b los lados de los cuadrados.

Se veridfica: \( 4a+4b=56\Rightarrow{a+b=15} \)

\( a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \)

Como a+b es constante, la expresión anterior será mínima cuando sea máximo ab, ya que si la suma de dos números es constante, su producto es máximo si los dos números son iguales.

Entonces ha de ser a=b=7, es decir, los dos cuadrados son iguales.
.


Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

23 Octubre, 2017, 10:57 am
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola ing.

Otra forma:

Sean a y b los lados de los cuadrados.

Se veridfica: \( 4a+4b=56\Rightarrow{a+b=\color{red}15\color{black}} \)

\( a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \)

Como a+b es constante, la expresión anterior será mínima cuando sea máximo ab, ya que si la suma de dos números es constante, su producto es máximo si los dos números son iguales.

Entonces ha de ser a=b=7, es decir, los dos cuadrados son iguales.

Ahí hay un pequeño error de escritura, obviamente se trata de a + b = 14.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Octubre, 2017, 12:01 pm
Respuesta #4

Ignacio Larrosa

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La suma de los perímetros de dos cuadrados es 56.
Hallar el mínimo de la suma de sus áreas.

Una demostración sin palabras:


Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Octubre, 2017, 09:16 pm
Respuesta #5

robinlambada

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Hola, la misma idea de Ignacio , solo que a mi juicio un poco más clara.

Spoiler
Si cada uno de los cuadrados con las condiciones dadas lo duplicamos y lo colocamos en otro de lado \( a+b=14 \)
partiendo de la situación en que los 4 cuadrados son iguales de lado a=b=7, vemos que cualquier otra tiene mayor área.


Saludos.

P.D.:La elección de los colores se baso solo en su claridad y contraste, cualquier otra interpretación es totalmente casual, sinceramente por pereza no los he cambiado.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.